Fachbereich Mathematik Prof. Dr. K. Ritter M. Fuchssteiner M. Slassi

WS 2008/2009 27. Oktober 2008

3. Übungsblatt zur „Mathematik I für BI, WI(BI), MaWi, AngGeo und VI“

Gruppenübung

Aufgabe G1 ()

Sei

x_{n+1} = \frac{500x_{n}}{x_{n} + 100}

für n ≥ 0 und x_{0} = 5000.

(a) Berechnen Sie x_{1}, x_{2}, x_{3} und x_{4}.

(b) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass x_{n} ≥ 400 für n ≥ 0.

Aufgabe G2 ()

Sei h : ℝ → ℝ mit h(x) = sup{z ∈ ℤ : z ≤ x} für x ∈ D(h) = ℝ.

(a) Skizzieren Sie den Graphen von h.

(b) Beschreiben Sie mit eigenen Worten die Funktion h.

(c) Bestimmen Sie die Bildmenge von h (Beweis!).

(d) Ist h injektiv und/oder surjektiv? Begründen Sie sorgfältig!

(e) Wie kann man die Definitionsmenge und/oder den Wertebereich so verändern (falls notwendig), dass h injektiv bzw. surjektiv ist?

Aufgabe G3 ()

Sei f : ℝ → ℝ injektiv.

(a) Bestimmen Sie g_{1} = f ∘ f^{−1} und g_{2} = f^{−1} ∘ f. Geben Sie auch die jeweilige Definitionsmenge und die jeweilige Bildmenge an.

(b) Gilt g_{1} = g_{2}?

Aufgabe G4 ()

(a) Bestimmen Sie

s = ∑_{k=1}^{100} k^{6} + ∑_{m=2}^{101}[75 − (m − 1)^{6}].

(b) Sei n ∈ ℕ. Bestimmen Sie den Wert (in Abhängigkeit von n) von

t(n) = ∑_{k=n+1}^{2n} \frac{2}{k + 2} + ∑_{m=n+3}^{2n+2} \frac{m − 2}{m}.

Hausübung

Aufgabe H1 () Sind folgende Funktionen surjektiv? Sind sie injektiv? Begründen Sie Ihre Antwort!

(a) f : ℤ → ℤ mit f(z) = 3z für z ∈ D(f) = ℤ

(b) g : ℝ → [0, ∞[ mit g(x) = |x − 1| für x ∈ D(g) = ℝ

(c) h : ℚ → ℚ mit h(x) = 3x für x ∈ D(h) = ℚ

Aufgabe H2 () Sei x_{n+1} = \frac{4}{5}x_{n} + 4, n ≥ 0.

(a) Bestimmen Sie x_{1}, x_{2}, x_{3} und x_{4} für x_{0} = 120.

(b) Zeigen Sie für x_{0} ∈ ℝ mit vollständiger Induktion

x_{n} = (x_{0} − 20) · (\frac{4}{5})^{n} + 20, n ≥ 0.

Aufgabe H3 () Gegeben seien die Funktionen f : ℝ → ℝ mit f(x) = x^{2} für x ∈ D(f) = ℝ, g : ℕ → ℕ mit g(n) = n + 2 für n ∈ D(g) = ℕ und h wie in Aufgabe G2.

(a) Bestimmen Sie die Bildmenge von f und g (Beweis für g!).

(b) Bestimmen Sie (h ∘ f)(\frac{3}{2}) und (f ∘ h)(\frac{3}{2}). Können Sie eine explizite Zuordnungsvorschrift für h ∘ f angeben?

(c) Sind die Funktionen f und g injektiv? Sind sie surjektiv? Begründen Sie sorgfältig!

(d) Wie kann man die Definitionsmenge und/oder den Wertebereich so verändern (falls notwendig), dass die Funktionen f und g injektiv bzw. surjektiv sind?