Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg Sommersemester 2008

June 4, 2008

Lineare Algebra II

9. Tutorium

(T 38)

Es seien 𝕂 einem Körper, V, W endlichdimensionales 𝕂-Vektorräume und h : V → W ein Homomorphismus. Die zu h transponierte Abbildung, h^{t} : W^{∗} → V^{∗} ist dann durch h^{t}(f) = f ∘ h, ∀f ∈ W^{∗} definiert.

(a) Zeigen Sie, daß wenn A die Koordinatenmatrix zu h ist, dann hat die zu h transponierte Abbildung h^{t} : W^{∗} → V^{∗} die Koordinatenmatrix A^{t}.

(b) Zeigen Sie, daß wenn h ein Isomorphismus ist, dann ist h^{t} auch ein Isomorphismus.

(T 39)

Es seien 𝕂, V und W als in aufgabe T 38 und sei β : V × W → 𝕂 eine Bilinearform mit Strukturmatrix B bezüglich der Basen v_{1}, …, v_{n} von V und w_{1}, …, w_{m} von W. Die transponierte von β, β^{t} : W × V → 𝕂 ist dann durch β^{t}(y, x) = β(x, y), ∀x ∈ V, ∀y ∈ W definiert und die lineare Abbildungen β_{1} : V → W^{∗} und β_{2} : W → V^{∗} ist dann durch

(β_{1}x)(y) = β(x, y), ∀x ∈ V, y ∈ W und (β_{2}y)(x) = β(x, y), ∀x ∈ V, y ∈ W

definiert.

(a) Zeigen Sie, daß β_{2} B als Koordinatenmatrix bezüglich der Basen w_{1}, …, w_{m} von W und v_{1}^{∗}, …, v_{n}^{∗} von V^{∗} hat.

(b) Zeigen Sie, daß die Abbildung

Bil(V, W) → Hom(W, V^{∗})
β ↦ β_{2}

ein kanonisches Isomorphismus von Vektorräumen ist.

(c) Zeigen Sie: Ist W endlich-dimensional und W^{∗∗} mit W identifiziert ist, so hat man für die Transponierte (β_{1})^{t} von β_{1} die Gleichung:

(β_{1})^{t} = (β^{t})_{1} = β_{2}.

(d) Es sei dim V = dim W. Zeigen Sie, daß eine Bilinearform β : V × W → 𝕂 ist genau dann nicht ausgeartet in der ersten Variablen, wenn sie nicht ausgeartet in der zweiten Variablen ist.

(T 40) Isometrie

Es seien 𝕂, V und W als in aufgabe T 38 und β : V × W → 𝕂 eine Bilinearform. Sind h ∈ End(V) und j ∈ End(W), so ist die Adjungierte von h, hˆ bzw. j, ˆ j durch β(hx, y) = β(x, hˆ y) bzw. β(x, jy) = β(ˆ jx, y), ∀x ∈ V, ∀y ∈ W definiert.

Sind s ∈ End(V) und t ∈ End(W), so sagen wir das Paar (s, t) lasse die Bilinearform β invariant, wenn gilt β(sx, ty) = β(x, y), ∀x ∈ V, ∀y ∈ W. Zeigen sie, daß wenn dim W = dim V und β ein nicht-ausgearte Bilinearform ist, dann sind die folgenden Aussagen Äquivalent:

(i) Das Paar (s, t) lasse β invariant. (ii) Es gilt ˆ ts = id_{V}. (iii) s und t sind invertierbar, und es gilt s^{−1} = ˆ t sowie t^{−1} = sˆ . (iv) Gehören bei fester Basiswahl in V bzw. W zu β, s, t die Matrizen B, S, T, so gilt

B = S^{t}BT.

(T 41) Es seien 𝕂 ein Körper, W, V 𝕂-Vektorräume und β : V × W → 𝕂 ein Bilinearform. Sind X bzw. Y Teilmenge von V bzw. W, so definieren wir

X^{⊥} = {y ∈ W | β(x, y) = 0, ∀x ∈ X} ,^{⊥}Y  = {x ∈ V | β(x, y) = 0, ∀y ∈ Y } .

(a) Zeigen Sie, daß X^{⊥} = (β_{1}X)^{o} und ^{⊥}Y = (β_{2}Y)^{o}.

(b) Seien V, W endlich-dimensionaler 𝕂-Vektorräume und β : V ×V → 𝕂 ein Bilinearform. Zeigen Sie, daß ^{⊥}W = Kern(β_{1}) und V^{⊥} = Kern(β_{2}).

(c) Seien V, W endlich-dimensionaler 𝕂-Vektorräume und β : V ×W → 𝕂 ein Bilinearform. Zeigen Sie, daß für jede Teilraum X ⊆ V gilt

dim X + dim X^{⊥} = dim W + dim(^{⊥}W ∩ X)

(d) Zeigen Sie, daß wenn β nicht-ausgeartet ist, und dim V = dim W dann gilt, für ein beliebiges Teilraum X ⊆ V

dim X + dim X^{⊥} = dim V

(e) Es seien jetzt V = ℝ^{4} ∋ (x, y, z, t) und β : V × V → ℝ die durch

β((x_{1}, y_{1}, z_{1}, t_{1}), (x_{2}, y_{2}, z_{2}, t_{2})) = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2} − t_{1}t_{2}

definierte Bilinearform.

(i) Geben Sie die Strukturmatrix für β an. (ii) Ist β ausgeartet oder nicht? (iii) Finden Sie ein Teilraum X ⊂ V so daß X ⊕ X^{⊥} ≠ V. (iv) Finden Sie ein Orthogonal-Basis für V = ℝ^{4} bezüglich β, daß kein O-Basis

bezüglich der Standardskalprodukte ist. D.h. geben Sie Vektoren v_{1}, …, v_{4} an so daß β(v_{i}, v_{j}) = 0 genau wenn i ≠ j. Gibt es ein ON-Basis bezüglich β für ℝ^{4}? Für ℂ^{4}?