Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2008 26. Mai 2008

Lineare Algebra II

8. Tutorium

Im Folgenden sei 𝕂 ein Körper.

(T 34) Sei V ein n-dimensionaler 𝕂-Vektorraum und b : V × V → 𝕂 eine (nicht-ausgeartete) Bilinearform. Für v,w ∈ V wird ein Endomorphismus f_{v,w} : V → V definiert durch

f_{v,w}(x) := b(v, x)w, x ∈ V.

(a) Welchen Rang hat f_{v,w}?

(b) Zeigen Sie, dass Spur f_{v,w} = b(v, w).

(c) Beweisen Sie: Sind A = {v_{1}, …, v_{n}} und B = {w_{1}, … w_{n}} zwei Basen von V, so ist

f := ∑_{i=1}^{n} f_{v_{i},w_{i}}

ein Automorphismus von V.

(T 35) Sei V ein 𝕂-Vektorraum und M, M_{1} und M_{2} Teilmengen von V. Weiter sei V^{t} der Dualraum von V und F, F_{1} und F_{2} Teilmengen von V^{t}. Beweisen Sie folgende Aussagen:

(a) M_{1} ⊆ M_{2} ⇒ M_{2}^{∘} ⊆ M_{1}^{∘} und F_{1} ⊆ F_{2} ⇒ F_{2}^{∘} ⊆ F_{1}^{∘}

(b) M^{∘} = (linM)^{∘}, F^{∘} = (linF )^{∘}

(c) Es gilt M ⊆ M^{∘ ∘} und F ⊆ F^{∘ ∘}

(d) Man hat M^{∘} = M^{∘ ∘ ∘} sowie F^{∘} = F^{∘ ∘ ∘}. In (e) und (f) seien M_{1}, M_{2} bzw. F_{1}, F_{2} nun Teilräume von V bzw. V^{t}.

(e) Es gilt (M_{1} + M_{2})^{∘} = M_{1}^{∘} ∩ M_{2}^{∘} und (F_{1} + F_{2})^{∘} = F_{1}^{∘} ∩ F_{2}^{∘}

(f) M_{1}^{∘} + M_{2}^{∘} ⊆ (M_{1} ∩ M_{2})^{∘} und F_{1}^{∘} + F_{2}^{∘} ⊆ (F_{1} ∩ F_{2}).

(T 36) Es gelten die Bezeichnungen wie in in Aufgabe (T 35e,f ). Zeigen Sie: Unter der zusätzlichen Voraussetzungen, dass V endlichdimensional ist, gilt für Teilräume M_{1}, M_{2} von V

(a) M_{1} ⊆ M_{2} ⟺ M_{2}^{∘} ⊆ M_{1}^{∘},

(b) M_{1}^{∘} + M_{2}^{∘} = (M_{1} ∩ M_{2})^{∘}. In diesem Fall hat man also in (T 35a) eine Äquivalenz und in (T 35f) das Gleichheitszeichen.

(T 37) Cramersche Regel für lineare Gleichungssyteme

Zu einem linearen Gleichungssystem der Form

Ax = b, A ∈ GL_{n}(𝕂), x ∈ 𝕂^{n}, b ∈ 𝕂^{n}

kann man den Lösungsvektor x = (x_{1}, …, x_{n})^{t} folgendermaßen bestimmen: Bezeichne mit a_{1}, …, a_{n} die Spaltenvektoren von A. Dann gilt

x_{i} = \frac{det(a_{1}, …, a_{i−1}, b, a_{i+1}, … a_{n})}{det(A)},

wobei (a_{1}, …, a_{i−1}, b, a_{i+1}, … a_{n}) die Matrix bezeichnet, die durch ersetzen der iten Spalte von A durch den Vektor b entsteht.

(a) Leiten Sie diese Formel aus elementaren Rechenregeln für Determinanten ab.

(b) Leiten Sie diese Formel aus der bekannten Cramerschen Regel für die Inversion von Matrizen ab.

(c) Sei 𝕂 = ℝ oder ℂ. Zeigen Sie, dass der Lösungsvektor x stetig und sogar differenzierbar von den Einträgen von A abhängt.