Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2008

Lineare Algebra II

7. Tutorium mit Lösungshinweisen

(T 31) Bilinearformen

Es sei f : V × V → 𝕂 eine Bilinearform auf dem endlichdimensionalen 𝕂-Vektorraum V.

(a) Kann die Bilinearform f durch eine Matrix A beschrieben werden? Wenn ja, wie ergeben sich die Einträge dieser Matrix? Ist diese Beschreibung eindeutig? Bestimme die Darstellungsmatrix des Standardskalarproduktes auf ℝ^{n} bezüglich der Standardbasis.

(b) Welcher Art ist die Darstellungsmatrix A wenn f nicht entartet, symmetrisch oder positiv definit ist?

(c) Sind f : ℝ^{2} → ℝ, f(x, y) = x^{2}+y^{2}−x, und g : ℝ^{2}×ℝ^{2} → ℝ^{2}, g(x, y) ↦ 2x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{2}− x_{1}y_{2} − y_{1}x_{2} Bilinearformen? Wenn ja, durch welche Matrizen werden sie bezüglich der Standardbasis beschrieben? sind diese Matrizen invertierbar, symmetrisch oder positiv definit?

Lösung:

(a) Ja, nach Wahl einer Basis B = (b_{1}, …, b_{n}). Die Einträge A_{ij} sind die Bilder der Basisvektoren: A_{ij} = f(v_{i}, v_{j}). Es seien x, y ∈ V beliebig mit

x = (x_{1} ; ⋮ ; x_{n}) und y = (y_{1} ; ⋮ ; y_{n})

bezüglich der Basis B. Das heißt

x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}b_{i} und y = ∑_{j=1}^{n} y_{j}b_{j}.

Daraus folgt mit Hilfe der Bilinearität

\begin{aligned}f(x, y) & = f(∑_{i=1}^{n} x_{i}b_{i}, ∑_{j=1}^{n} y_{j}b_{j}) = ∑_{i=1}^{n} f(x_{i}b_{i}, ∑_{j=1}^{n} y_{j}b_{j}) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} f(x_{i}b_{i}, y_{j}b_{j}) \\ & = ∑_{i=1}^{n} x_{i} ∑_{j=1}^{n} y_{j}f(b_{i}, b_{j}) = ∑_{i=1}^{n} x_{i} ∑_{j=1}^{n} y_{j}a_{ij} = x^{T} Ay. \end{aligned}

(Die Summe ∑_{j=1}^{n} y_{j}a_{ij} ist gerade die i-te Komponente des Spaltenvektors Ay.)

Die Darstellungsmatrix A hängt von der Wahl der Basis ab, und ist daher nicht eindeutig.

Für das Standardskalarprodukt gilt

⟨e_{i}, e_{j}⟩ = \begin{cases}0 & falls i ≠ j \\ 1 & falls i = j \end{cases} .

Folglich ist die Einheitsmatrix I die Darstellungsmatrix des Standardskalarproduktes bezüglich der Standardbasis.

(b) In diesen Fällen ist die Matrix A invertierbar, symmetrisch bzw. positiv definit: Ist f nicht ausgeartet, so gibt es keinen Vektor v ∈ V, so daß f(−, v) die Nullabbildung ist. Somit gibt es keinen Vektor v mit Av = 0, d.h. die Matrix A ist invertierbar.

Ist f symmetrisch, so gilt f(v_{i}, v_{j}) = b(v_{j}, v_{i}) und die Darstellungsmatrix A ist symmetrisch.

(c) Die Abbildung f ist nicht linear in x, folglich ist sie keine Bilinearform. Die Abbildung g ist eine symmetrische Bilinearform. Die beschreibende Matrix ist die Matrix

A = (\begin{matrix}2 & −1 \\ −1 & 2 \end{matrix}) .

Die Hautminoren sind 2 und 5, somit ist die Matrix A und damit auch die Form g positiv definit.

(T 32) Semidefininte Bilinearformen

Beweisen Sie, daß semidefinite nicht defnite symmetrische Bilinearformen ausgeartet sind.

Lösung:

Ist f eine semidefinite nicht positiv definite symmetrische Bilinearform auf dem Vektorraum V, so gibt es einen Vektor v ∈ V mit f(v, v) = 0, welcher nicht der Nullvektor ist. Aus der Cauchy-Schwartzschen Ungleichung

f(v, w)^{2} ≤ f(v, v)f(w, w)

folgt f(w, v) = 0 für alle w ∈ V. Somit ist f ausgeartet.

Definition: Eine stetige Abbildung q : V → 𝕂 auf einem 𝕂-Vektorraum V heißt quadratische Form, falls die Gleichung q(v + w) + q(v − w) = 2[q(v) + q(w)] für alle v, w ∈ V erfüllt ist. Eine Teilmenge Q ⊂ V heißt Quadrik, falls sie die Lösungsmenge einer Gleichung

q(v) + f(v) + c = 0

mit einer quadratischen Form q einer Linearform f und einem Skalar c ∈ 𝕂 ist.

(T 33)

Wir betrachten die Funktion h : ℝ^{2} → ℝ, h(x, y) = x^{2}−y^{2}. Ist h eine Quadrik eine Bilinearform oder eine quadratische Form? Skizzieren Sie die Kennlinie Q = {(x, y) | h(x, y) = 1}. Ist Q eine Quadrik?

Lösung:

Die Abbildung h ist eine quadratische Form. Die Kennlinie Q besteht aus den zwei Hyperbeln x = ±\sqrt{1 + y^{2}}. Sie ist die Nullstellenmenge der Gleichung h(x, y) − 1 = 0 und somit eine Quadrik.

(T 34) Quadriken

Es sei

A = (\begin{matrix}2 & −1 \\ −1 & 2 \end{matrix}), b = (\begin{matrix}2\sqrt{2} \\ −2\sqrt{2} \end{matrix}) und c = \frac{1}{3}.

Von welchem Kurventyp ist die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung

x^{T} Ax + b^{T} x + c = 0?

Skizzieren Sie die Lösungsmenge im ursprünglichen Koordinatensystem.

Lösung:

Die Matrix A besitzt den Eigenwert 1 mit Eigenvektor (1, 1)^{T} und den Eigenwert 3 mit Eigenvektor (−1, 1)^{T}. Seien e_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)^{T} und e_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}(−1, 1)^{T} die normierten Eigenvektoren. Dann ist

C = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & 1 \end{matrix})

die Transformationsmatrix für den Wechsel zur Orthonormalbasis e_{1}, e_{2}. Sei d = C^{T} b = (0, −4). In der neuen Basis (mit neuer Variablen y) lautet die Gleichung dann

(Cy)^{T} ACy + b^{T} Cy + c = 0

bzw.

y^{T} C^{T} ACy + b^{T} Cy + c = 0

oder ausgeschrieben

y_{1}^{2} + 3y_{2}^{2} − 4y_{2} + \frac{1}{3} = 0.

Um das Linearglied −4y_{2} zu beseitigen, führt man eine quadratische Ergänzung durch:

\begin{aligned}y_{1}^{2} + 3 (y_{2}^{2} − \frac{4}{3}y_{2}) + \frac{1}{3} & = y_{1}^{2} + 3 (y_{2}^{2} − \frac{4}{3}y_{2} + (\frac{2}{3})^{2} − (\frac{2}{3})^{2}) + \frac{1}{3} \\ & = y_{1}^{2} + 3 (y_{2} − \frac{2}{3})^{2} − 1. \end{aligned}

Setzt man nun z_{1} := y_{1} und z_{2} := y_{2} − \frac{2}{3}, dann lautet die Gleichung in den neuen Variablen

z_{1}^{2} + 3z_{2}^{2} = 1.

Folglich ist die Lösungsmenge eine Ellipse. Bezüglich der z-Koordinaten liegt das Zentrum im Nullpunkt. Daher liegt es bezüglich der y-Koordinaten im Punkt (0, \frac{2}{3}) und der x-Koordinaten im Punkt (−\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3}). Die Vektoren e_{1} und e_{2} geben die Richtung der Achsen der Ellipse an. Die Halbachsen haben die Länge 1 und \frac{1}{\sqrt{3}}. Skizze siehe Abbildung .

Abbildung 1: Skizze zur Aufgabe T35