Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg Sommersemester 2008

May 15, 2008

Lineare Algebra II

6. Tutorium

(T 26) Seien V ein endlich dimensionaler Vektorraum über dem Körper 𝕂 = ℝ, ℂ und A : V → V ein Endomorphismus. Zeigen Sie, daß wenn A ≠ 0 nilpotent ist dann ist A nicht diagonalisierbar.

(T 27) Sei P_{4} der Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ 4 über dem Körper 𝕂 = ℝ, ℂ. Weitherhin sei D : P_{4} → P_{4} der lineare Differentialoperator definiert durch

Df(x) = xf′′(x) − 2f′(x)

Bestimmen Sie die Jordansche Normalform für D und geben Sie die zugehörige Jordanbasis an.

(T 28) Seien V und A wie in Aufgabe T26. Man sagt, daß V zyklisch bezüglich A ist, wenn es r ∈ ℕ und v ∈ V gibt, so daß V von den Vektoren v, Av, …, A^{r−1}v erzeugt wird. Sei W_{λ} ⊆ V der Unterraum, der von den Eigenvektoren von A bezügl. der Eigenwert λ erzeugt ist. Zeigen Sie, daß wenn V zyklisch bezügl. A ist, dann hat der Unterraum W_{λ} Dimension 1.

(T 29) Seien V und A wie in Aufgabe T26 und sei V zyklisch bezügl. A. Sei f(X) = a_{0} + a_{1}X + ⋯ + a_{n}X^{n} ein Polynom.

(a) Zeigen Sie, daß die Eigenwerte von f(A) gegeben sind, durch f(α), wobei α ein Eigenwert von A ist.

(b) Nimm an, daß a_{0} ≠ 0 und f(A) = 0. Zeigen Sie, daß A invertierbar ist und

A^{−1} = −a_{0}^{−1}(a_{1}E + a_{2}A + ⋯ a_{n}A^{n−1})

(T 30) Eine Matrix A heißt unipotent, wenn A − E nilpotent ist. Sie heißt quasi-unipotent, wenn eine Potenz unipotent ist.

(a) Zeigen Sie, daß alle Eigenwerte von quasi-unipotenten Matrizen Einheitswurzeln sind. Sind quasi-unipotente Matrizen invertierbar? Wann das stimmt, geben Sie die Inverse an. (Hinweise: T29).

(b) Sei

A = ( \begin{matrix}1 & a & b \\ 0 & −1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Zeigen Sie, daß A quasi-unipotent ist. Berechnen Sie die Jordan-Normalform von A und geben Sie die Jordan-Basis an.