Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2008 06.05.2008

Lineare Algebra II

5. Tutorium

(T 21) Irreduzible Polynome

Sei 𝕂 ein Körper und sei P(𝕂) der Vektoraum der Polynome mit Koeffizenten aus 𝕂. Ein Polynom p ∈ P(𝕂) heißt irreduzibel, wenn es keine Polynome q, r ∈ P(K) vom Grad größer 0 gibt, mit der Eigenschaft, dass p = qr.

(a) Wie sehen irreduzible Polynome in P(ℂ) aus? Wie in P(ℝ)?

(b) Geben Sie ein Beispiel für ein irreduzibles Polynom in P(ℚ), dessen Grad größer als 2 ist.

(T 22) Euklidscher Algorithmus

In der Vorlesung wurde ein Verfahren zur Ermittlung des ggT zweier Zahlen behandelt, der sogenannte Euklidsche Algorithmus, den man kurz folgendermaßen beschreiben kann. Bestimmung von ggT(a, b):

• Schritt 0: Setze a_{1} = min{a, b}, a_{0} = max{a, b}.

• Schritt k, k = 1, 2, …: Führe eine Division mit Rest aus,

\begin{matrix}a_{k−1} = q_{k}a_{k} + r_{k}. \\ a_{k+1} := r_{k}. \end{matrix}

• Falls a_{k+1} = 0, so ist a_{k} = ggT(a, b) und man kann aufhören.

(a) Sei n die Zahl an Schritten, die der Algorithmus benötigt, um ggT(a_{0}, b_{0}) zu ermitteln. Betrachten Sie die Matrix M ∈ M_{2}(ℤ),

M = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & q_{1} \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & q_{2} \end{matrix}) ⋯ (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & q_{n} \end{matrix}) .

Zeigen Sie, dass M^{−1} ebenfalls nur ganzzahlige Einträge hat, und berechnen Sie

M^{−1} (\begin{matrix}a_{1} \\ a_{0} \end{matrix}) .

Welche Bedeutung haben die Einträge von M^{−1}?

(b) Finden Sie eine Folge f_{0}, f_{1}, … von ganzen Zahlen mit der Eigenschaft, dass die Berechnung von ggT(f_{m}, f_{m+1}) genau m Schritte benötigt (ohne Schritt 0). Hinweis: Fibonacci-Zahlen, vgl. letztes Semester, Aufgabe (A 37) in der 12.Übung.

(c) Zeigen Sie, dass es kein Paar (a, b) ganzer Zahlen gibt mit a < f_{m+1} und b < f_{m}, für welches m Schritte oder mehr benötigt werden.

(T 23)

Sei P_{m} der Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ m über dem Körper 𝕂 = ℝ, ℂ. Weiterhin sei D ∈ End P definiert durch die Ableitung, also

Df = f′.

Zeigen Sie, dass D nilpotent ist und bestimmen Sie eine zyklische Basis für D. Geben auch eine Basis an, in der D Jordan-Normalform hat.

(T 24)

Im Folgenden bezeichnet K einen Körper, K = ℝ oder ℂ.

(a) Betrachten Sie einen Jordanblock der Größe 2 × 2, zu einem Eigenwert λ ∈ 𝕂, also

eine Matrix

J(λ) = (\begin{matrix}λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix}) .

Finden Sie eine Formel für J^{m}(λ), m ≥ 0.

(b) Betrachten Sie die Matrix

A = (\begin{matrix}−1 & 0 & 1 \\ 1 & −1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und finden Sie Transformationsmatrizen S und S^{−1}, so dass S^{−1}AS Jordan Normalform hat. (Hinweis: Benötigt wird hierzu eine zyklische Basis für jeden (verallgemeinerten) Eigenraum von A. )

(c) Berechnen Sie die Matrix A^{2008}.

(T 25) Polynome von Jordan-Blöcken

Sei p(X) ein Polynom und J ein Jordan-Block der Größe n × n,

J = (\begin{matrix}λ & 1 & 0 & … & 0 \\ 0 & λ & 1 & … & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ . . . . . . . . . & 0 & λ \end{matrix}) .

Zeigen Sie, dass

p(J) = (\begin{matrix}p(λ) & \frac{p′(λ)}{1!} & \frac{p′′(λ)}{2!} & … & \frac{p^{(n−1)}(λ)}{(n−1)!} \\ 0 & p(λ) & \frac{p′(λ)}{1!} & … & \frac{p^{(n−2)}(λ)}{(n−2)!} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ . . . . . . . . . . . . . . . . & 0 & p(λ) \end{matrix}) ,

wobei wie üblich p^{(k)} die k-te Ableitung von p bezeichnet.