Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

�

SS 2008

Lineare Algebra II

4. Tutorium mit Lösungshinweisen

(T 16) Wiederholung

Es sei p ∈ ℂ[x] ein Polynom mit reellen Koeffizienten.

(a) Zeigen Sie, daß zu jeder Nullstelle z von p auch \overline{z} eine Nullstelle ist.

(b) Beweisen Sie, daß p in lineare und quadratische Faktoren mit reellen Koeffizienten zerfällt.

Nun sei A eine reelle n × n-Matrix.

c) Zeigen Sie, daß, falls jeder Eigenwert nur einfach vorkommt, ℝ^{n} die direkte Summe ⊕V_{i} endlich vieler höchstens 2-dimensionaler A-invarianter Untervektorräume V_{i} ist.

d) Welche Eigenwerte können auftreten, wenn A orthogonal ist? Wie sehen in diesem Fall die Einschränkungen auf die 1- und 2-dimensionalen invarianten Untervektorräume aus?

Lösung:

(a) Es sei p(z) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}z^{i} mit reellen Koeffizienten a_{i}. Ist z eine Nullstelle von p so gilt

0 = \overline{0} = \overline{p(z)} = \overline{∑_{i=1}^{n} a_{i}z^{i}} = ∑_{i=1}^{n} \overline{a}_{i}\overline{z}^{i} = ∑_{i=1}^{n} a_{i}\overline{z}^{i},

d.h. \overline{z} ist eine Nullstelle von p.

(b) Da jedes Polynom über ℂ in Linearfaktoren Zerfällt, folgt

p(z) = (λ_{1} − z)(\overline{λ}_{1} − z) ⋯ (λ_{k} − z)(\overline{λ}_{k} − z) · (λ_{k+1} − z) ⋯ (λ_{m} − z)  (1)

mit nicht-reellen Nullstellen λ_{1}, …, λ_{k} und reellen Nullstellen λ_{k+1}, …, λ_{m}. (Da nicht reelle Nullstellen in Paaren auftreten gilt hier P_{A} = Gradp = n = 2k + m.)

(c) Nach b zerfällt das charakteristische Polynom det(z·E−A) in lineare und quadratische Faktoren mit reellen Koeffizienten

P_{A}(z) = (λ_{1} − z)(\overline{λ}_{1} − z) ⋯ (λ_{k} − z)(\overline{λ}_{k} − z) · (λ_{k+1} − z) ⋯ (λ_{m} − z)

mit nicht-reellen Nullstellen λ_{1}, …, λ_{k} und reellen Nullstellen λ_{k+1}, …, λ_{m}. Die Faktoren sind nach Annahme teilerfremd und es gilt P_{a}(A) = 0. Somit ist ℝ^{n} die direkte Summe der 2-dim. Untervektorräume ker(λ_{1} −A)(\overline{λ}_{1} −A), …, ker(λ_{k} −z)(\overline{λ}_{k} −A) und der 1-dim. Untervektorräume ker(λ_{k+1} − z), ⋯, ker(λ_{m} − z).

(d) Falls A orthogonal ist, haben alle Eigenwerte Betrag 1. Es können daher nur Eigenwerte der Form λ = e^{iφ} auftreten. Die Einschränkung auf einen eindimensionalen Ainvarianten Untervektorraum kann nur die Identität oder die Spiegelung am Ursprung sein. Die Einschränkung auf einen 2-dimensionalen A-invarianten Untervektorraum wird durch eine orthogonale 2 × 2-Matrix beschrieben. Diese hat die Form

( \begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} ) ,

ist also eine Drehung.

(T 17) 2 × 2-Matrizen Bestimmen Sie für die folgenden beiden Matrizen ihre Jordanform sowie die Eigen- und Hauptvektoren und geben Sie die Transformationsmatrizen an:

A := ( \begin{matrix}5 & −1 \\ −1 & 5 \end{matrix} ) und B := ( \begin{matrix}1 & 4 \\ −1 & 5 \end{matrix} )

Lösung:

• Wir bestimmen zunächst die Eigenwerte von A:

det ( \begin{matrix}5 − λ & −1 \\ −1 & 5 − λ \end{matrix} ) = (5 − λ)^{2} − 1 = λ^{2} − 10λ + 24 = (λ − 4)(λ − 6)

Damit sind λ_{1} := 4 und λ_{2} := 6 die Eigenwerte von A. Somit ist die Jordanform von A

( \begin{matrix}4 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} ) .

Weiterführende Rechnungen bestimmen zudem die Transformationsmatrix. Es gelten

( \begin{matrix}5 − 4 & −1 \\ −1 & 5 − 4 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ) und ( \begin{matrix}5 − 6 & −1 \\ −1 & 5 − 6 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−1 & −1 \\ −1 & −1 \end{matrix} )

damit ist

v⃗_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) ein EV zu λ_{1} und v⃗_{1} = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \end{matrix} ) ein EV zu λ_{2}

Wir machen die Probe. Sei T_{A} := ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) die Transformationsmatrix. Zunächst

gilt

T_{A}^{−1} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & 1 \end{matrix} )

Es folgt:

T_{A}^{−1}AT_{A} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}5 & −1 \\ −1 & 5 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & 1 \end{matrix} )
= \frac{1}{2} ( \begin{matrix}4 & 4 \\ −6 & 6 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & 1 \end{matrix} )
= \frac{1}{2} ( \begin{matrix}8 & 0 \\ 0 & 12 \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}4 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} )

Das ist tatsächlich die Diagonalmatrix der Eigenwerte, was auch die Jordanmatrix von A ist.

• Wir bestimmen zunächst die Eigenwerte von B:

det ( \begin{matrix}1 − λ & 4 \\ −1 & 5 − λ \end{matrix} ) = (1 − λ)(5 − λ) + 4 = λ^{2} − 6λ + 5 + 4 = λ^{2} − 6λ + 9 = (λ − 3)^{2}

Damit ist λ_{1} := 3 der einzige Eigenwert von B. Es gilt:

( \begin{matrix}1 − 3 & 4 \\ −1 & 5 − 3 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−2 & 4 \\ −1 & 2 \end{matrix} )

Damit hat λ_{1} die geometrische Vielfachheit 1 mit dem Eigenvektor

v⃗_{1} := ( \begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix} )

Die Matrix läßt sich nicht diagonalisieren. Da wir aber nur eine 2×2-Matrix betrachten, wissen wir, daß ( \begin{matrix}3 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix} ) die zu B gehörige Jordanmatrix sein muß. Als nächstes muß noch ein Hauptvektor bestimmt werden. Der Ansatz ist:

( \begin{matrix}−2 & 4 \\ −1 & 2 \end{matrix} ) x⃗ = ( \begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix} )

Dieses LGS wird von ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) gelöst, d.h.,

v⃗_{2} := ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} )

ist der gesuchte Hauptvektor.

Wir machen noch die Probe. Sei T_{B} := ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) die Transformationsmatrix. Zunächst gilt

T_{B}^{−1} = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 2 \end{matrix} )

Es folgt:

T_{B}^{−1}BT_{B} = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 2 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 4 \\ −1 & 5 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}2 & −1 \\ −3 & 6 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}3 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix} )

Das ist tatsächlich die Jordanmatrix von B. (T 18) Jordannormalform in Beispielen Geben Sie reelle Matrizen A_{i} in Jordannormalform mit den folgenden Eigenschaften an:

1. A_{1} hat den Eigenwert 1 mit algebraischer Vielfachheit 3 und geometrischer Vielfachheit 1.

2. A_{2} hat den Eigenwert −1 mit algebraischer Vielfachheit 3 und geometrischer Vielfachheit 2.

3. A_{3} hat den Eigenwert 2 mit algebraischer Vielfachheit 2 und geometrischer Vielfachheit 1 und den Eigenwert −2 mit algebraischer Vielfachheit 2 und geometrischer Vielfachheit 1.

4. Die Matrizen A_{4} und A_{5} haben beide den Eigenwert 1 mit algebraischer Vielfachheit 4 und geometrischer Vielfachheit 2, haben keine weiteren Eigenwerte und sind trotzdem nicht ähnlich.

Lösung:

Mögliche Lösungen sind:

1. A_{1} = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ).

2. A_{2} = ( \begin{matrix}−1 & 1 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ).

3. A_{3} = ( \begin{matrix}2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & −2 \end{matrix} ).

4. A_{4} = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) und A_{5} = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ).

(T 19) Jordannormalform

Die Matrix A ∈ ℝ^{4×4} besitze die Eigenwerte 1 und −1. Geben Sie die Jordannormalform von A an für die folgenden Fälle an:

(a) Die algebraische Vielfachheit sowie die geometrische Vielfachheit beider Eigenwerte ist zwei.

(b) Die algebraische sowie die geometrische Vielfachheit vom Eigenwert 1 ist eins, die algebraische Vielfachheit vom Eigenwert −1 ist drei und die geometrische zwei.

(c) Die algebraische sowie die geometrische Vielfachheit vom Eigenwert 1 ist eins, die algebraische Vielfachheit vom Eigenwert −1 ist drei und die geometrische ist eins.

Lösung:

Aus den Vielfachheiten der Eigenwerte lassen sich die folgenden Informationen über die Jordanblöcke ablesen:

• Ist die Summe der algebraischen Vielfachheiten gleich der Raumdimension, dann existiert eine Jordannormalform.

• Die algebraische Vielfachheit ist die Summe der Größen der Jordanblöcke zum entsprechenden Eigenwert.

• Die geometrische Vielfachheit ist die Anzahl der Jordanblöcke zum entsprechenden Eigenwert.

Damit folgt:

(a) Eine Jordannormalform J von A besitzt zu jedem Eigenwert zwei Jordanblöcke der Größe eins, zum Beispiel

J = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix}) .

(b) Eine Jordannormalform J von A besitzt einen Jordanblock zum Eigenwert 1 der Größe eins und zwei Jordanblöcke zum Eigenwert −1 der Größe eins bzw. zwei, zum Beispiel

J = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix}) .

(c) Eine Jordannormalform J von A besitzt einen Jordanblock zum Eigenwert 1 der Größe eins und einen Jordanblock zum Eigenwert −1 der Größe drei, zum Beispiel

J = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix}) .

(T 20) Idempotente Involutionen

Definition: Eine Selbstabbildung f : M → M einer Menge heißt idempotent, falls f = f ∘f gilt. Eine Selbstabbildung f : M → M einer Menge heißt Involution, falls sie invertierbar ist und f^{−1} = f gilt.

Es sei f : ℝ^{042008} → ℝ^{042008} eine idempotente Involution. Welche Form kann die Jordan-Normalform annehmen?

Hinweis: Es gibt nicht viele Möglichkeiten

Lösung:

Es gilt f = f∘f = f^{−1}∘f = id_{ℝ^{042008}}. Somit gibt es genau eine mögliche Jordan-Normalform, nämlich die 042008 × 042008-Einheitsmatrix.