Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg Sommersemester 2008

April 25, 2008

Lineare Algebra II

3. Tutorium mit Lösungshinweisen

(T 11) Positiv definiter Endomorphismus

Es seien V ein endlich dimensionaler reeller Vektorraum mit Dimension n und A : V → V ein symmetrischer Endomorphismus. Zeigen Sie, daß die folgenden zwei Bedingungen für A äquivalent sind:

(a) Alle Eigenwerte von A sind positiv.

(b) ⟨Av, v⟩ > 0 für alle v ∈ V.

Ein Endomorphismus, der diese Bedingungen erfüllt, wird positiv definit genannt.

Lösung:

Lassen Sie v_{1}, …, v_{n} ein ON-Basis von Eigenvektoren zum A mit zugehörigen Eigenwerten λ_{1}, …, λ_{n}.

(a)⇒(b): Lassen Sie v ∈ V beliebig ≠ 0, dann gilt v = ∑_{i=1}^{n} a_{i}v_{i}, a_{i} ∈ ℝ (und an mindesten ein a_{j} ≠ 0) und

⟨Av, v⟩ = ⟨A ∑ a_{i}v_{i}, ∑ a_{k}v_{k}⟩ = ⟨∑ a_{i}Av_{i}, ∑ a_{k}v_{k}⟩
= ⟨∑ λ_{i}a_{i}v_{i}, ∑ a_{k}v_{k}⟩ = ∑_{i,k=1}^{n} λ_{i}a_{i}a_{k} ⟨v_{i}, v_{k}⟩

= ∑_{i,k=1}^{n} λ_{i}a_{i}a_{k}δ_{ik}

= ∑_{k=1}^{n} λ_{k}a_{k}^{2} > 0

weil alle λ_{k} > 0.

(b)⇒(a) Jetzt haben wir

⟨Av_{i}, v_{i}⟩ = λ_{i} ⟨v_{i}, v_{i}⟩ = λ_{i} > 0

weil ⟨Av_{i}, v_{i}⟩ > 0.

(T 12) Wurzel eines positiv definiten Endomorphismus

Es sei V wie in (T11) und A ein positiv definiter Endomorphismus. Zeigen Sie, daß es einen symmetrischen Endomorphismus B : V → V gibt, so daß B^{2} = A und AB = BA.

Lösung:

Sei v_{1}, …, v_{n} ein ON-Basis von Eigenvektoren zu A mit zugehöriger Eigenwerten λ_{1}, …, λ_{n}. Es ist bekannt, daß wir A darstellen können als

A = U^{T} DU

mit U unitär und D = Diag (λ_{1}, …, λ_{n}) die Diagonalmatrix mit λ_{1}, …, λ_{n} auf der Diagonalen. Sei

B = U^{T} D′U

mit D′ = Diag (\sqrt{λ_{1}}, …, \sqrt{λ_{n}}). Dann gilt natürlich D^{′2} = D und

B^{2} = U^{t}D′UU^{t}D′U = U^{t}D^{′2}U = U^{t}DU = A.

Wir haben auch

AB = U^{t}DUU^{t}D′U = U^{t}DD′U = U^{t}D′DU = U^{t}D′UU^{t}DU = BA

weil D′D = DD′.

(T 13) Zerlegung einer invertierbaren linearen Abbildung

Es sei A : ℝ^{n} → ℝ^{n} eine invertierbare lineare Abbildung.

(a) Zeigen Sie, daß A^{t}A positiv definit ist.

(b) Aus Aufgabe (T12) wissen wir, daß es einen symmetrischen positiv definiten Endomorphism B gibt, so daß B^{2} = A^{t}A. Sei U = AB^{−1}. Zeigen sie, daß U unitär ist.

(c) Zeigen Sie, daß A = UB.

Lösung:

(a) Offensichtlich ist A^{t}A^{t} = A^{t}A^{t}^{t} = A^{t}A also A^{t}A ist symmetrisch. Es gilt auch daß spA^{t}Avv = ⟨Av, Av⟩ = ∥Av∥ > 0 für alle v ∈ V \ 0 weil A invertierbar ist.

(b) Wir haben, daß U^{−1} = BA^{−1} und U^{t} = B^{t}^{−1}A^{t} = B^{−1}A^{t} und UU^{t} = AB^{−1}B^{−1}A^{t} = AB^{−2}A^{t} = AA^{−1} = 𝟙. Also ist U^{t} = U^{−1} und U ist unitär.

(c) A = UB folgt direkt aus Aufgabe (b).

(T 14) Existenz einer nichttrivialen Polynomgleichung für eine Matrix

Zeige elementar (d.h. insbesondere ohne den Satz von Cayley-Hamilton), daß jede Matrix ein nichttriviales Polynom erfüllt, d.h. daß das Einsetzen der Matrix in dieses Polynom auf die Nullmatrix führt. Hinweis: Betrachte dazu M_{n}(𝕂) als 𝕂-Vektorraum.

Lösung:

Man betrachte M(n × n, 𝕂) als n^{2}-dimensionalen 𝕂-Vektorraum. Dann ist die Menge

{E, A, A^{2}, …, A^{n^{2}}}

über 𝕂 linear abhängig. Ist eine solche Relation ∑_{i=0}^{n^{2}} a_{i}A^{i} = 0, so ist A Nullstelle des nichttrivialen Polynoms ∑_{i=0}^{n^{2}} a_{i}x^{i}.

(T 15) Trigonalisierung von Endomorphismen

Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum mit Dimension n über ℂ und A : V → V ein Endomorphismus von V. Eine A-invariante Fahne in V ist eine Reihe aus Unterräumen von V: {V_{1}, V_{2}, …, V_{n}} wobei V_{i} ⊆ V_{i+1}, i = 1, …, n − 1, dim(V_{i}) = i, A(V_{i}) ⊆ V_{i}, i = 1, …, n und V_{n} = V. Eine Fahnen Basis von V ist eine Basis {v_{1}, …, v_{n}} so, daß V_{i} = Span(v_{1}, …, v_{i}).

(a) Zeigen Sie, daß A durch eine Dreiecksmatrix darstellbar ist, genau wenn es eine Ainvariante Fahnen Basis gibt.

(b) Zeigen Sie, daß, wenn A durch eine Dreiecksmatrix darstellbar ist, das charakteristische Polynom von A über ℂ in Linearfaktoren zerfällt, d.h. p_{A}(t) = c(λ_{1}−t)(λ_{2}−t) ⋯ (λ_{n}− t), mit λ_{i} ∈ ℂ und c = ±1.

Lösung:

(a) ⇒: Sei A = (a_{ij}) eine Dreiecksmatrix und {e_{1}, …, e_{n}} die Basis von V, bezüglich welcher A Dreiecksmatrix ist. D.h.

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & ⋯ & a_{1n} \\ & a_{22} & ⋯ & a_{2n} \\ & & ... & ⋮ \\ & & & a_{nn} \end{matrix} )

Dann ist Ae_{1} = a_{1}1e_{1} ⇒ v_{1} = e_{1} und V_{1} = Span(e_{1}). Weiter gilt: Ae_{2} = a_{12}e_{1} + a_{22}e_{2} ∈ Span(e_{1}, e_{2}) ⇒ v_{2} = e_{2} und V_{2} = Span(v_{1}, v_{2}). Wir möchten damit zeigen, daß v_{j} = e_{j} mit Hilfe von Induktion. Die Induktionsverankerung ist klar und der Induktionsschritt ist wie folgt: Sei V_{i} = Span(v_{1}, …, v_{i}) mit v_{j} = e_{j}, j = 1 …, i. Dann ist Ae_{i+1} = a_{i+1i+1}e_{i+1} + a_{ii+1}e_{i} + ⋯ a_{1i+1}e_{1} ∈ Span(v_{1}, …, v_{i}, e_{i+1}). Damit ist der Beweis klar.

⇐: Sei {v_{1}, v_{2}, …, v_{n}} eine A-invariante Fahnen Basis für V. Dann gilt Av_{i} ∈ Span(v_{1}, …, v_{i}) also ist Av_{i} = a_{1i}v_{1} + ⋯ + a_{ii}v_{i}, i = 1, …, n. D.h. die Matrix für A bezüglich der Basis {v_{1}, …, v_{n}} ist genau die Matrix (a_{ij})_{1≤i,j≤n} mit a_{i}j wie oben gegeben und man sieht, daß a_{ij} = 0 für j < i, also ist die Matrix eine Driecksmatrix.

(b) Das charakteristische Polynom einer Dreiecksmatrix A ist genau p_{A}(t) = det(A − tE) also die Determinante der Dreiecksmatrix mit Diagonale a_{ii} − t ⇒

p_{A}(t) = (a_{11} − t)(a_{22} − t) ⋯ (a_{nn} − t).