Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2008 11.4.2008

Lineare Algebra II

2. Tutorium mit Lösungshinweisen

(T 6) Normale Matrizen

(a) Wiederholen Sie die Definitionen aus der Vorlesung: Wie sind normale lineare Operatoren definiert? Was versteht man unter einer normalen Matrix?

(b) Zeigen Sie: Ist A ∈ M_{n}(ℂ) durch unitäre Matrizen diagonalisierbar, so gilt

A^{∗}A = AA^{∗}.

(c) Machen Sie sich klar, dass diese Eigenschaft erfüllt wird von orthogonalen Matrizen, von symmetrischen Matrizen, von unitären Matrizen und von hermiteschen Matrizen.

Lösung:

a) Ein linearer Operator f : V → V heißt normal, wenn f ∘ f^{∗} = f^{∗} ∘ f. Eine Matrix A heißt normal, wenn A^{∗}A = AA^{∗}.

b) Diagonalisierbarkeit bedeutet, es gibt eine unitäre Matrix U, sodass D := U^{∗}AU eine Diagonalmatrix ist. Also ist

A = UDU^{−1} = UDU^{∗},
A^{∗} = (U^{∗})^{∗}D̄U^{∗} = UD̄U,
AA^{∗} = UDD̄U
= UD̄DU^{∗}
= A^{∗}A.

c) Für die aufgeführten Matrizen gilt nach Definition A^{∗} = A^{t} = A (symm. Matrizen), A^{∗} = A^{t} = A^{−1} (orth. Matrizen) und ebenso A^{∗} = A (hermitesche Matrizen) und A^{∗} = A^{−1} (unitäre Matrizen). Damit ergibt sich sofort, dass sie die gewünschte Eigenschaft haben, also normal sind.

(T 7)

Sei (V, ⟨, ⟩) ein endlich dimensionaler unitärer Vektorraum und A eine normale Matrix. Sei weiterhin v ∈ V ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Beweisen Sie, dass v auch zu A^{∗} ein Eigenvektor ist, der zugehörigem Eigenwert ist \overline{λ}. (Hinweis: Berechnen Sie die Norm von A^{∗}v − \overline{λ}v).

Lösung:

Unter Verwendung der Eigenwertgleichung Av = λv berechnet man

∥A^{∗}v − λ̄v∥ = ⟨A^{∗}v − λ̄v, A^{∗}v − λ̄v⟩
= ⟨A^{∗}v, A^{∗}v⟩ − ⟨A^{∗}v, λ̄v⟩ − ⟨λ̄v, A^{∗}v⟩ + ⟨λ̄v, λ̄v⟩
= ⟨v, AA^{∗}v⟩ − ⟨v, λ̄Av⟩ − ⟨λ̄Av, v⟩ + |λ|^{2} ⟨v, v⟩
= ⟨Av, Av⟩ − ⟨v, |λ|^{2}v⟩ − ⟨|λ|^{2}v, v⟩ + |λ|^{2} ⟨v, v⟩
= |λ|^{2}(2 ⟨v, v⟩ − 2 ⟨v, v⟩) = 0.

Da die Norm nicht ausgeartet ist, folgt A^{∗}v = λ̄v. Eben dies war zu zeigen.

(T 8) Spektralsatz für normale Operatoren

Sei V ein endlich dimensionaler komplexer Vektorraum mit einer positiv definiten hermiteschen Form ⟨ , ⟩. In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass es zu jedem normalen lineare Operator auf V eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren gibt.

Sei also f ein normaler linearer Operator f : V → V.

(a) Sei λ ∈ ℂ ein Eigenwert von f und v ∈ V ein dazugehöriger Eigenvektor. Zeigen Sie: Das orthogonale Komplement (ℂv)^{⊥} ist ein f-invarianter Teilraum.

(b) Zeigen Sie: V hat eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von f. (Hinweis: Vollständige Induktion nach der Dimension)

(c) Formulieren Sie den eben gezeigten Spektralsatz auch für normale Matrizen.

Lösung:

a) Da ℂv ein (eindimensionaler) Teilraum ist, ist (ℂv)^{⊥} ebenfalls ein Teilraum von V. Es sei w ∈ (ℂv)^{⊥}. Dann gilt

⟨v, f(w)⟩ = ⟨f^{∗}(v), w⟩ = ⟨λ̄v, w⟩ = 0,

da f normal ist, vgl. Aufgabe (T 7).

b) Die Induktionsverankerung ist klar (v/∥v∥ ist normiert). Der Induktionsschritt ergibt aus Teil a). Man schreibe W = (ℂv)^{⊥}. Es gilt V = W ⊕ℂv. Nun schränkt man das Skalarprodukt auf auf W ein. Der auf W eingeschränkte lineare Operator f ist normal bezüglich des eingeschränkten Skalarproduktes. Per Induktionsvoraussetzung hat W eine Orthonormalbasis {e_{2}, …, e_{n}} von Eigenvektoren zu f. Nimmt man nun e_{1} := v/∥v∥ hinzu, so gibt dies eine Basis der gewünschten Art für V.

c) Matrixversion des Spektralsatzes: Zu jeder normalen Matrix A existiert eine unitäre Matrix U, sodass U^{∗}AU eine (komplexe) Diagonalmatrix ist.

(T 9) Simultane Diagonalisierung

Sei (V, ⟨ , ⟩) ein endlich dimensionaler unitärer Vektorraum. Seien f_{1}, …, f_{m} normale lineare Operatoren auf V, die paarweise miteinander vertauschbar sind, d.h. f_{i} ∘ f_{j} = f_{j} ∘ f_{i} für jedes i und jedes j aus {1, …, m}.

Es soll folgender Satz bewiesen werden: Es gibt eine Orthonormalbasis e_{1}, …, e_{n} von V aus simultanen Eigenvektoren, d.h. es es gibt komplexe Zahlen λ_{ij} für i = 1, …, m und j = 1, …, n, so dass gilt

f_{i}(e_{j}) = λ_{ij}e_{j},

für jedes i und j.

(a) Sei λ ein Eigenwert zu f_{1} und

V_{λ}(f_{1}) = {v ∈ V; f_{1}(v) = λv}

der zugehörige Eigenraum. Zeigen Sie zunächst, dass

f_{i} (V_{λ}(f_{1})) ⊆ V_{λ}(f_{1}).

(b) Es seien λ und μ zwei unterschiedliche Eigenwerte zu f_{1}. Zeigen Sie, dass die zugehörigen Eigenräume aufeinander senkrecht stehen.

(c) Nun beweisen Sie die Existenz einer Basis von V mit den gewünschten Eigenschaften. (Hinweis: Induktion)

Lösung:

a) Sei v ∈ V_{λ}(f_{1}). Da f_{i} ∘ f_{1} = f_{1} ∘ f_{i}, hat man

f_{1}(f_{i}v) = f_{i}(f_{1}v) = λf_{i}v,

also ist f_{i}v Eigenvektor von f_{1} zum Eigenwert λ.

b) Seien λ und μ unterschiedliche Eigenvektoren von f_{1}. Seien nun v ∈ V_{λ}(f_{1}) und w ∈ V_{μ}(f_{1}) beliebig. Mit Hilfe von Aufgabe (T 7) erhält man aus der Normalität von f_{1}

μ ⟨v, w⟩ = ⟨v, μw⟩ = ⟨v, fw⟩ = ⟨f^{∗}v, w⟩ = ⟨λ̄v, w⟩ = λ ⟨v, w⟩ .

Da λ ≠ μ ist dies nur möglich, wenn ⟨v, w⟩ = 0.

c) Der Beweis wird durch Induktion nach m geführt. Die Beweisverankerung ist klar, denn für einen Operator ist nichts zu zeigen.

Der Induktionsschritt (von m−1 auf m) ergibt sich aus den Teilen a) und b): Nach a) erhalten die f_{i} für i = 2, …, m den Eigenraum V_{λ}(f_{1}). Man kann diese Operatoren also auf V_{λ}(f_{1}) einschränken. Die eingeschränkten Operatoren sind normal (bezüglich des auf V_{λ}(f_{1}) eingeschränkten Skalarproduktes). Nach Induktionsvoraussetzung existiert eine Orthonormalbasis aus simultanen Eigenvektoren in V_{λ}(f_{1}), die natürlich auch Eigenvektoren zu f_{1} sind (zum Eigenwert λ).

Da die Eigenräume von f_{1} zu anderen Eigenwerten senkrecht auf V_{λ}(f_{1}) stehen, nach b), erhalten wir insgesamt eine Orthonormalbasis von V mit den gewünschten Eigenschaften.

(T 10) Diagonalisierung von Matrizen endlicher Ordnung

Sei A ∈ M_{n}(ℂ) eine Matrix mit der Eigenschaft A^{m} = E für eine natürliche Zahl m (Man sagt dann A ist von endlicher Ordnung).

(a) Sei ⟨ , ⟩ das Standardskalarprodukt auf ℂ^{n}. Weiterhin sei

[v, w] = ∑_{j=1}^{m} ⟨A^{j}v, A^{j}w⟩ für v, w ∈ ℂ^{n}.

Beweisen Sie, dass [ , ] ein hermitesches Skalarprodukt auf ℂ^{n} ist.

(b) Zeigen Sie: A ist diagonalisierbar.

(Hinweis: Weisen Sie nach, dass A unitär bezüglich [ , ] ist.)

Lösung:

a) Dass [ , ] hermitsch ist folgt, da die Abbildung v ↦ Av linear und ⟨ , ⟩ hermitesch ist. Symmetrie und positive Definitheit folgen ebenso aus den entsprechenden Eigenschaften von ⟨ , ⟩.

b) Da A^{m} = E, gilt

⟨Av, Aw⟩ = ∑_{j=1}^{m} ⟨A^{j+1}v, A^{j+1}w⟩ = ∑_{j=1}^{m−1} ⟨A^{j+1}v, A^{j+1}w⟩ + ⟨A^{m}Av, A^{m}Aw⟩ =

= ∑_{j=2}^{m} ⟨A^{j}v, A^{j}w⟩ + ⟨Av, Aw⟩ = [Av, Aw].

Also ist A unitär bezüglich [ , ]. Damit folgt die Diagonalisierbarkeit von A aus dem Spektralsatz für unitäre Matrizen.