Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2008

Lineare Algebra II

13. Tutorium

(T 55) Quadriken

Es seien q_{A}, q_{B}, q_{C}, q_{D} und q_{E} die zu den Matrizen

A = (\begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}) B = (\begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) C = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}) D = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix}) E = (\begin{matrix}4 & 0 & 0 \\ 0 & −11 & 0 \\ 0 & 0 & −9 \end{matrix})

assoziierten quadratischen Formen. Geben Sie jeweils die Signatur an und skizzieren Sie die Kennlinien {x⃗ | q_{A}(x⃗) = 1}, {x⃗ | q_{B}(x⃗) = 1}, {x⃗ | q_{C}(x⃗) = 1}, {x⃗ | q_{D}(x⃗) = 1} und {x⃗ | q_{E}(x⃗) = 1}.

(T 56) Symmetrischer Gaußalgorithmus

Berechnen Sie die Signatur der zu den Matrizen

A = (\begin{matrix}2 & 4 \\ 4 & 10 \end{matrix}) B = (\begin{matrix}2 & 6 \\ 6 & 15 \end{matrix}) C = (\begin{matrix}1 & −1 & −2 \\ −1 & 3 & 6 \\ −2 & 6 & 16 \end{matrix}) D = (\begin{matrix}2 & 2 & −2 \\ 2 & 3 & −1 \\ −2 & −1 & 0 \end{matrix})

assoziierten quadratischen Formen und beschreiben Sie die Kennlinien.

(T 57) Wiederholung

Wiederholen Sie Aufgabe T34 oder G44.

(T 58) Raumzeit

In der Raumzeit (ℝ^{4}) wird der folgende ’Abstand’ benutzt:

s(t, x_{1}, x_{2}, x_{3}) = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} − c^{2}t^{2}}

(a) Ein Punkt in der Raumzeit kann von einem Lichtstrahl, der im Ursprung (0, 0, 0, 0) startet, genau dann erreicht werden, wenn dessen Abstand zum Ursprung Null ist. Wie sieht die Menge aller solcher Punkte geometrisch aus? Welche geometrische Form hat die Menge aller Punkte, die von einem solchen Lichtstrahl zur Zeit 1 erreicht werden kann?

(b) Die relativistische Energie E eines Teilchens ist durch die Gleichung

E^{2} = (p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + p_{3}^{2})c^{2} + m_{0}^{2}c^{4}.

gegeben. Hierbei sind p_{1}, p_{2}, p_{3} die drei Komponenten des Impulses, m_{0} die Ruhemasse und c die Lichtgeschwindigkeit. Angenommen die Ruhemasse sei konstant und größer als 0. Wie sieht die Menge aller möglichen Konfigurationen für (E, p_{1}, p_{2}, p_{3}) aus?

(c) Ersetze die drei Impulskomponenten p_{1}, p_{2}, p_{3} möglichst sinnvoll durch eine Komponente r(p_{1}, p_{2}, p_{3}). Wie sieht die Menge aller möglichen Konfigurationen für (E, r) aus?

(T 59)

Von welchem Flächentyp ist die Quadrik x^{T} Ax + b^{T} x + c = 0 mit

A = (\begin{matrix}3 & −1 & 0 \\ −1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & −2 \end{matrix}), b = (\begin{matrix}−2\sqrt{2} \\ 2\sqrt{2} \\ 2 \end{matrix}) und c = \frac{3}{2} ?

(T 60)

Von welchem Flächentyp ist die Quadrik x^{T} Ax + b^{T} x + c = 0 mit

A = (\begin{matrix}2 & 0 & −\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 2 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ −\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 2 \end{matrix}), b = (\begin{matrix}−2 + 6\sqrt{2} \\ 2 + 6\sqrt{2} \\ −2\sqrt{2} \end{matrix}) und c = 20 ?