Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2008 23. Juni 2008

Lineare Algebra II

12. Tutorium

Im Folgenden bezeichnet 𝕂 einen Körper (mit Charakteristik ≠ 2) und (V, q) einen ndimensionalen quadratischen Raum über 𝕂.

(T 51)

Es sei (V, q) ein n-dimensionaler quadratischer Raum über 𝕂, und q sei nicht ausgeartet. Weiter sei U ein Teilraum und q_{U} die Einschränkung von q auf U. Zeigen Sie: Genau dann ist q_{U} nicht ausgeartet, wenn sich jede Orthogonalbasis von (U, q_{U}) zu einer Orthogonalbasis von (V, q) fortsetzen lässt.

(T 52)

Sei q eine nicht ausgeartete quadratische Form auf einem n-dimensionalen 𝕂-Vektorraum. Zeigen Sie: Ist q isotrop, dann stellt q jedes Element aus 𝕂 dar, d.h. zu jedem a ∈ 𝕂 gibt es x ∈ V mit q(x) = a.

(T 53)

Sei (V, q) nicht ausgeartet und U ⊂ V ein total isotroper Teilraum von V. Weisen Sie nach, dass es einen total isotropen Teilraum U′ gibt, so dass

1. dim U = dim U′

2. V = U ⊕ U′ ⊕ W,

mit einem geeigneten Unterraum W, auf dem q_{W} nicht ausgeartet ist.

(T 54)

Sei (V, q) nicht ausgeartet. Zeigen Sie: Alle maximalen total isotropen Teilräume von V haben die gleiche Dimension m. (Man bezeichnet m als den Witt-Rang von (V, q).)