Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2008 16. Juni 2008

Lineare Algebra II

11. Tutorium

Im folgenden bezeichnet 𝕂 einen Körper (mit Charakteristik ≠ 2).

(T 47)

Seien (V, q) und (V, q′) isomorphe quadratische Räume über 𝕂, d.h. es gibt eine Isometrie s zwischen (V, q) und (V′, q′). Weiter seien β_{q} und β_{q′} die zu q respektive q′ gehörigen Bilinearformen auf V bzw. V′. Zeigen Sie:

β_{q}(v, w) = β_{q′}(s(v), s(w)), für alle v, w ∈ V.

(T 48)

Sei V ein 𝕂-Vektorraum und q eine quadratische Form auf V und β_{q} die zugehörige Bilinearform. Zu dieser Bilinearform sei V^{⊥} wie üblich definiert und W ein Komplementärraum zu V^{⊥} in V, d.h. V = V^{⊥} + W, V^{⊥} ∩ W = {0}.

(a) Zeigen Sie: Die Einschränkung q_{W} von q auf W ist eine nicht ausgeartete quadratische Form auf W. Für einen beliebigen Vektor v ∈ V, v = u + w, u ∈ V^{⊥} und w ∈ W gilt

q(v) = q_{W} (w).

(b) Ist W′ ein weiterer Komplementärraum von V^{⊥} in V, so gibt es eine Äquivalenz zwischen den quadratischen Formen q_{W} und q_{W′}, q_{W} ≃ q_{W′}.

(T 49)

(a) Seine (V, q) und (V′, q) endlichdimensionale quadratische Räume über 𝕂 und s : V → V′ ein Vektorraumisomorphismus. Weiter seien B und B′ Basen von V und V′ und A, A′ die Strukturmatrizen von q, q′ sowie S die darstellende Matrix von s bezüglich dieser Basen. Zeigen Sie: Genau dann ist s eine Isometrie, wenn

A = S^{t}A′S

gilt.

(b) Sei [a_{1}, …, a_{n}] eine Diagonalform, weiter seien c_{1}, …, c_{n} beliebige Elemente aus 𝕂^{×}. (𝕂^{×} ist die multiplikative Gruppe von 𝕂, also {a ∈ 𝕂; ∃a^{−1} ∈ K}.) Dann gilt die Relation:

[c_{1}^{2}a_{1}, …, c_{n}^{2}a_{n}] ≃ [a_{1}, …, a_{n}].

(T 50)

Seien (V, q) und (V′, q′) endlichdimensionale quadratische Räume über 𝕂.

(a) Sei s : V → V′ eine lineare Abbildung (es wird nicht voraussgetzt, dass s bijektiv ist) für welche q(v) = q′(s(v)) für jedes v ∈ V gilt. Zeigen Sie: Ist q nicht ausgeartet, so ist s schon injektiv.

(b) Sei s : V → V′ irgendeine (nicht als linear vorausgesetzte) Abbildung für die β_{q}(v, w) = β_{q′}(s(v), s(w)) für jedes v, w ∈ V gilt. Weiterhin sei q′ nicht ausgeartet. Zeigen Sie: Enthält das Bild sV eine Basis von V′, so ist s notwendig schon linear.