Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2008 20. Juni 2008

Lineare Algebra II

11. Tutorium mit Lösungshinweisen

Im folgenden bezeichnet 𝕂 einen Körper (mit Charakteristik ≠ 2).

(T 47)

Seien (V, q) und (V, q′) isomorphe quadratische Räume über 𝕂, d.h. es gibt eine Isometrie s zwischen (V, q) und (V′, q′). Weiter seien β_{q} und β_{q′} die zu q respektive q′ gehörigen Bilinearformen auf V bzw. V′. Zeigen Sie:

β_{q}(v, w) = β_{q′}(s(v), s(w)), für alle v, w ∈ V.

Lösung:

Es gilt

β_{q}(v, w) = q(v + w) − q(v) − q(w) = q′(s(v + w)) + q′(s(v)) + q′(s(w)),

weil s eine Isometrie ist. Da eine Isometrie auch ein Vektorraumisomorphismus, also linear, ist, gilt s(v + w) = s(v) + s(w), also

β_{q}(v, w) = q′(s(v) + s(w)) + q′(s(v)) + q′(s(w)) = β_{q′}(s(v), s(w)).

(T 48)

Sei V ein 𝕂-Vektorraum und q eine quadratische Form auf V und β_{q} die zugehörige Bilinearform. Zu dieser Bilinearform sei V^{⊥} wie üblich definiert und W ein Komplementärraum zu V^{⊥} in V, d.h. V = V^{⊥} + W, V^{⊥} ∩ W = {0}.

(a) Zeigen Sie: Die Einschränkung q_{W} von q auf W ist eine nicht ausgeartete quadratische Form auf W. Für einen beliebigen Vektor v ∈ V, v = u + w, u ∈ V^{⊥} und w ∈ W gilt

q(v) = q_{W} (w).

(b) Ist W′ ein weiterer Komplementärraum von V^{⊥} in V, so gibt es eine Äquivalenz zwischen den quadratischen Formen q_{W} und q_{W′}, q_{W} ≃ q_{W′}.

Lösung:

(a) q_{W} ist nicht ausgeartet: Gibt es nämlich ein w mit β_{q}(w, w′) = 0 für jedes w′ ∈ W so gilt per Definition von V^{⊥}, dass β_{q}(w, u′) = 0 für jedes u ∈ V^{⊥} (β_{q} ist symmetrisch!). Da jedes v ∈ V sich schreiben lässt als v = u + w, folgt daraus w ∈ V^{⊥}. Widerspruch!

Per Defininition von V^{⊥} gilt nun

0 = β_{q}(w, u) = q(u + w) − q(w) − \underbrace{q(u)}_{=0, da u∈V^{⊥}}

also ist q(v) = q(u + w) gleich q(w) = q_{W} (w).

(b) Nach Voraussetzung gilt V = W + V^{⊥} und V = W′ + V^{⊥}. Jedes v ∈ V lässt sich jeweils eindeutig schreiben als v = w+u, mit w ∈ W und u ∈ V^{⊥}, bzw. als v = w′+u′, mit w′ ∈ W′ und u′ ∈ V^{⊥}. Es gibt damit einen Automorphismus s : V → V, v = w + u ↦ w′ + u′ der auf V^{⊥} eingeschränkt ein Basiswechsel ist und der W auf den isomorphen Teilraum W′ abbildet. Es gilt q(v) = q_{W} (w) = q_{W′}(w′) (nach (a)) außerdem ist q_{W′}(w′) = q_{W′}(s |_{W} (w)). Also ist q_{W} äquivalent zu q_{W′}.

(T 49)

(a) Seine (V, q) und (V′, q) endlichdimensionale quadratische Räume über 𝕂 und s : V → V′ ein Vektorraumisomorphismus. Weiter seien B und B′ Basen von V und V′ und A, A′ die Strukturmatrizen von q, q′ sowie S die darstellende Matrix von s bezüglich dieser Basen. Zeigen Sie: Genau dann ist s eine Isometrie, wenn

A = S^{t}A′S

gilt.

(b) Sei [a_{1}, …, a_{n}] eine Diagonalform, weiter seien c_{1}, …, c_{n} beliebige Elemente aus 𝕂^{×}. (𝕂^{×} ist die multiplikative Gruppe von 𝕂, also {a ∈ 𝕂; ∃a^{−1} ∈ K}.) Dann gilt die Relation:

[c_{1}^{2}a_{1}, …, c_{n}^{2}a_{n}] ≃ [a_{1}, …, a_{n}].

Lösung:

(a) Dies folgt aus Aufgabe (G 36). Man bezeichne mit β_{q} und β_{q′} die zu q und q′ gehörigen Bilinearformen auf V bzw. V′ und B sowie B′ deren Strukturmatrizen. Da s ein Vektorraumisomorphismus ist, ist s(B) eine Basis von V′. Nach (G 36) ist die Strukturmatrix von B′ bezüglich dieser Basis dann gleich S^{t}B′S und damit ist die von q′ gleich S^{t}A′S (denn B′ = 2A′). Genau dann, wenn diese Matrix gleich A ist, hat man also q(v) = q′(s(v)). Also ist A = S^{t}A′S äquivalent dazu, dass s eine Isometrie ist.

(b) Bezeichnet man mit C die Diagonalmatrix mit Einträgen c_{1}, …, c_{n} und mit A und B die Strukturamtrizen der Diagonalformen [a_{1}, …, a_{n}] und [c_{1}^{2}a_{1}, …, c_{n}^{2}a_{n}], so gilt offenbar C^{t}AC = B. Hieraus folgt nach (a) die Behauptung, wenn C invertierbar ist, also einen Basiswechsel von 𝕂^{n} vermittelt. Da alle c_{i}, i = 1, …, n, aus 𝕂^{×} sind, existiert C^{−1} = diag(c_{1}^{−1}, …, c_{n}^{−1}).

(T 50)

Seien (V, q) und (V′, q′) endlichdimensionale quadratische Räume über 𝕂.

(a) Sei s : V → V′ eine lineare Abbildung (es wird nicht voraussgetzt, dass s bijektiv ist) für welche q(v) = q′(s(v)) für jedes v ∈ V gilt. Zeigen Sie: Ist q nicht ausgeartet, so ist s schon injektiv.

(b) Sei s : V → V′ irgendeine (nicht als linear vorausgesetzte) Abbildung für die β_{q}(v, w) = β_{q′}(s(v), s(w)) für jedes v, w ∈ V gilt. Weiterhin sei q′ nicht ausgeartet. Zeigen Sie: Enthält das Bild sV eine Basis von V′, so ist s notwendig schon linear.

Lösung:

(a) Da q nicht ausgeartet ist, ist auch die zugehörige Bilinearform β_{q} nicht ausgeartet. Außerdem gilt nach Voraussetzung und (T 47) β_{q}(v, w) = β_{q′}(s(v), s(w)).

Wir nehmen nun an s sei nicht injektiv. Dann gibt es 0 ≠ v ∈ V mit s(v) = 0. Damit hat man aber β_{q}(v, w) = β_{q′}(0, s(w)) = 0 für jedes w ∈ V. Da β_{q} nicht ausgeartet ist, heißt dies v war doch 0. Widerspruch!

(b) Wir müssen zweigen, dass s(av + bw) = as(v) + bs(w) für alle v, w ∈ V und alle a, b ∈ K gilt. Also s(av + bw) − as(v) − bs(w) = 0 in V′. Da q′ und somit β_{q′}, die zugehörige Bilinearform, nicht ausgeartet sind, folgt dies, wenn

β_{q′}(s(av + bw) − as(v) − bs(w), u) = 0, für jedes u ∈ V′.

Es genügt offenbar, dies für eine Basis von V′ nachzuprüfen. Sei dimV′ = m. Nach Voraussetzung gibt es b_{1}, …, b_{m} ∈ V, so dass s(b_{1}), …, s(b_{m}) eine Basis von V′ ist. Für jedes i ∈ {1, …, m} hat man

β_{q′}(s(av + bw) − as(v) − bs(w), s(b_{i}))

= β_{q′}(s(av + bw), s(b_{i})) − aβ_{q′}(s(v), s(b_{i})) − bβ_{q′}(s(w), s(b_{i}))

= β_{q}(av + bw, b_{i}) − aβ_{q}(v, b_{i}) − bβ_{q}(w, b_{i})
= β_{q}(av + bw − av − bw, b_{i}) = β_{q}(0, b_{i}) = 0.

Dabei wurden der Reihe nach die Bilinearität von β_{q′}, die Voraussetzung und die Bilinearität von β_{q} verwendet. Hieraus folgt die Behauptung.