Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

�

SS 2008

Lineare Algebra II

10. Tutorium

(T 42) Symplektische Räume Es sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und ω : V × V → ℝ eine schiefsymmetrische nicht ausgeartete Bilinearform. Zeigen sie, daß die Dimension von V gerade sein muß.

(T 43) Zurückgezogene Formen Es sei Ψ : V → W ein Homomorphismus zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen und ω : W ×W → ℝ eine Bilinearform auf W. Zeigen Sie, daß die zurückgezogene Form

Ψ^{∗}ω : V × V → ℝ, (v, v′) ↦ ω(Ψ(v), Ψ(v′))

eine Bilinearform auf V ist.

Definition: Ein linearer Symplektomorphismus eines symplektischen Raumes (V, ω) ist ein Isomorphismsus Ψ : V ⟶^{≅} V mit der Eigenschaft Ψ^{∗}ω = ω.

(T 44) Symplektische Räume Zeigen Sie, daß die Symplektomorphismen eines Symplektischen Raumes eine Gruppe bilden.

Defintion Das symplektische Komplement W^{ω} eines Untervektorrraumes W eines symplektischen Raumes (V, ω) ist der Untervektorraum

W^{ω} := {v ∈ V | ∀w ∈ W : ω(v, w) = 0}.

Eine Untervektorraum W heißt Lagrange-Untervektorrraum, falls W^{ω} = W gilt.

(T 45) Symplektische Räume Es sei ω_{0} die symplektische Form auf ℝ^{2n}, welche bezüglich der kanonischen Basis durch die Gram-Matrix

J = (\begin{matrix}0 & −I \\ I & 0 \end{matrix})

beschrieben wird. Geben sie eine symplektische Basis und zwei verschiedene Lagrange-Untervektorräume L_{1} und L_{2} an. Können Sie Lagrange-Untervektorräume L_{1} und L_{2} finden, so daß ℝ^{2n} = L_{1} ⊕ L_{2} gilt?

(T 46) Bilinearformen Es seien β_{1} und β_{2} Bilinearformen auf dem endlichdimensionalen rellen Vektorraum V. Beweisen Sie:

(a) Ist β_{1} nicht ausgeartet, so gilt det A ≠ 0 für jede Gram-Matrix A von β_{1}.

(b) Ist β_{1} symmetrisch, so gibt es eine Basis v_{1}, …, v_{n} von V bezüglich welcher die Gram-Matrix zu β_{1} eine Diagonalmatrix ist.