Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2008

Lineare Algebra II

10. Tutorium mit Lösungshinweisen

(T 42) Symplektische Räume

Es sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und ω : V × V → ℝ eine schiefsymmetrische nicht ausgeartete Bilinearform. Zeigen sie, daß die Dimension von V gerade sein muß.

Lösung:

Die Bilinearform ω ist eine symplektische Form. Somit gibt es eine symplektische Basis u_{1}, …, u_{n}, v_{1}, …, v_{n} von V. Die Dimension von V ist somit 2n und daher gerade.

(T 43) Zurückgezogene Formen

Es sei Ψ : V → W ein Homomorphismus zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen und ω : W ×W → ℝ eine Bilinearform auf W. Zeigen Sie, daß die zurückgezogene Form

Ψ^{∗}ω : V × V → ℝ, (v, v′) ↦ ω(Ψ(v), Ψ(v′))

eine Bilinearform auf V ist.

Lösung:

Dies folgt aus der Linearität von Ψ und der Bilinearität von ω: Für Vektoren v_{1}, v_{2}, v′_{1}, v′_{2} aus V und Skalare λ, μ ∈ ℝ gilt

Ψ^{∗}ω(λv_{1} + v_{2}, μv′_{1} + v′_{2}) = ω(Ψ(λv_{1} + v_{2}), Ψ(μv′_{1} + v_{2}))
= ω(λΨ(v_{1}) + Ψ(v_{2}), μψ(v′_{1}) + Ψ(v′_{2})) da Ψ linear ist.
= λμω(Ψ(v_{1}), Ψ(v′_{1})) + λω(Ψ(v_{1}), Ψ(v′_{2}))
+μω(Ψ(v_{2}), Ψ(v′_{1})) + ω(Ψ(v_{2}), Ψ(v′_{2})),

da ω bilinear ist. Somit ist Ψ^{∗}ω eine bilinearform auf V.

Definition: Ein linearer Symplektomorphismus eines symplektischen Raumes (V, ω) ist ein Isomorphismsus Ψ : V ⟶^{≅} V mit der Eigenschaft Ψ^{∗}ω = ω.

(T 44) Symplektische Räume

Zeigen Sie, daß die Symplektomorphismen eines Symplektischen Raumes eine Gruppe bilden.

Lösung:

Es sei Symp(V, ω) die Menge aller Symplektomorphismen von V. Sind Ψ und Φ Symplektomorphismen von V so gilt

(Ψ ∘ Φ)^{∗}ω = (Ψ^{∗}Φ^{∗})ω = Ψ^{∗}(Φ^{∗}ω) = Ψ^{∗}ω = ω.

Somit ist die Verknüpfung zweier Symplektomorphismen wieder ein Symplektomorphismus. Für die Identitaät id_{V} gilt id_{V}^{∗} ω = ω, d.h. die Identitat id_{V} ist ein neutrales Element in Symp(V, ω). Es bleibt nur noch zu zeigen, daß das Inverse eines Symplektomorphismus Ψ wieder eine Symplektomorphismus ist. Ist ψ ein Symplektomorphismus und sind v, v′ Vektoren aus V, so gilt

(Ψ^{−1})^{∗}ω(v, v′) = ω(Ψ^{−1}(v), Ψ^{−1}(v′)) = Ψ^{∗}ω(Ψ^{−1}(v), Ψ^{−1}(v′)) = ω(ΨΨ^{−1}(v), ΨΨ^{−1}(v′)) = ω(v, v′).

Somit ist Ψ^{−1} ein Symplektomorphismus und dieser ist das Inverse von Ψ in Symp(V, ω). Die Menge Symp(V, ω) ist somit eine Gruppe.

Defintion Das symplektische Komplement W^{ω} eines Untervektorrraumes W eines symplektischen Raumes (V, ω) ist der Untervektorraum

W^{ω} := {v ∈ V | ∀w ∈ W : ω(v, w) = 0}.

Eine Untervektorraum W heißt Lagrange-Untervektorrraum, falls W^{ω} = W gilt.

(T 45) Symplektische Räume

Es sei ω_{0} die symplektische Form auf ℝ^{2n}, welche bezüglich der kanonischen Basis durch die Gram-Matrix

J = (\begin{matrix}0 & −I \\ I & 0 \end{matrix})

beschrieben wird. Geben sie eine symplektische Basis und zwei verschiedene Lagrange-Untervektorräume L_{1} und L_{2} an. Können Sie Lagrange-Untervektorräume L_{1} und L_{2} finden, so daß ℝ^{2n} = L_{!} ⊕ L_{2} gilt?

Lösung:

Die standard-symplektische Basis besteht aus den Vektoren e_{1}, …, e_{n} und e_{n+1}, …, e_{2n} der Standardbasis des ℝ^{2n}. Die Untervektorräume L_{1} := ⟨e_{1}, …, e_{n}⟩ und L_{2} := ⟨e_{n+1}, …, e_{2n}⟩ sind somit Lagrange-Untervektorräume und es gilt ℝ^{2n} = L_{1} ⊕ L_{2}.

(T 46) Bilinearformen

Es seien β_{1} und β_{2} Bilinearformen auf dem endlichdimensionalen rellen Vektorraum V. Beweisen Sie:

(a) Ist β_{1} nicht ausgeartet, so gilt det A ≠ 0 für jede Gram-Matrix A von β_{1}.

(b) Ist β_{1} symmetrisch, so gibt es eine Basis v_{1}, …, v_{n} von V bezüglich welcher die Gram-Matrix zu β_{1} eine Diagonalmatrix ist.

Lösung:

(a) Dies wurde in Aufgabe T31 schon bewiesen.

(b) Ist β_{1} symmetrisch, so ist die Gram Matrix A bezüglich einer beliebigen Basis v′_{1}, …, v′_{n} von V symmetrisch und damit diagonalisierbar. Es gibt somit eine Basis v_{1}, …, v_{n} von V bezüglich welcher die Form β_{1} durch eine Diagonalmatrix beschrieben wird.