Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2008 4.4.2008

Lineare Algebra II

1. Tutorium

(T 1)

Es sei V ein Vektorraum über dem Körper 𝕂 mit einem positiv definiten Skalarprodukt ⟨·, ·⟩, A : V → V ein symmetrischer Operator mit verschiedenen Eigenwerten λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{r}. Weitherhin sei

V_{λ}(A) = {v ∈ V ; Av = λv}

der Eigenraum von A zum Eigenwert λ.

(a) Zeigen Sie, daß V_{λ}(A) ein A-invarianter Unterraum von V ist.

(b) Zeigen Sie, daß V die direkte Summe der Eigenräume ist, d.h.

V = V_{λ_{1}} ⊕ ⋯ ⊕ V_{λ_{r}}.

(c) Es seien λ_{i}, λ_{j} zwei unterschiedliche Eigenwerte. Zeigen Sie, daß ⟨V_{λ_{i}}, V_{λ_{j}}⟩ = 0.

(T 2)

Es sei V = M_{n}(ℝ) die Vektorraum der reellen n × n Matrizen, S ⊂ V der Unterraum der symmetrischen Matrizen. Weiterhin sei

⟨A, B⟩ = Spur(AB).

(a) Beweisen Sie, daß ⟨·, ·⟩ eine nicht-ausgeartet Bilinearform ist (d.h. aus ⟨A, B⟩ = 0 für alle B ∈ V folgt A = 0.)

(b) Welche Dimension hat S?

(c) Zeigen Sie, daß ⟨·, ·⟩ ein Skalarprodukt auf S ist.

(d) Es sei W ⊂ S der Unterraum bestehend aus Matrizen mit Spur 0. Was ist die Dimension von W? Was ist die Dimension von W^{⊥}? (bezüglich dem Raums S und dem oben eingeführten Skalarprodukt).

(T 3)

Es seien V und ⟨·, ·⟩ wie in Aufgabe 2 und D ⊂ V der Unterraum von Diagonalmatrizen. Beschreiben Sie den Raum D^{⊥}. Was ist die Dimension von D^{⊥}?

(T 4)

Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über ℂ mit einer positiv definiten Hermitischen Form ⟨·, ·⟩.

(a) Es sei A : V → V ein Hermitischer Operator und v ∈ V ein von Null verschiedener Eigenvektor von A. Für w ∈ W, zeigen Sie, daß wenn w ⊥ v dann ist auch Aw ⊥ v.

(b) Zeigen Sie, daß wenn W ⊂ V stabil unter A ist, d.h. Aw ∈ W für jedes w ∈ W, dann ist W^{⊥} auch stabil unter A.

(T 5) Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über ℂ mit einer Sesquilinearform ⟨·, ·⟩ und V^{∗} = hom(V, ℝ) der Dualraum zu V. Für jedes v ∈ V sei L_{v} : V → ℂ durch

L_{v}(w) =< v, w >, w ∈ V

gegeben.

(a) Zeigen Sie, daß L_{v} ∈ V^{∗}

(b) Zeigen Sie, daß A : v ↦ L_{v} ein lineare Abbildung: V → V^{∗} ist.

(c) Zeigen Sie, daß A : V → V^{∗} isomorph sind.