Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2008 4.4.2008

Lineare Algebra II

1. Tutorium mit Lösungshinweisen

(T 1)

Es sei V ein Vektorraum über dem Körper 𝕂 mit einem positiv definiten Skalarprodukt ⟨·, ·⟩, A : V → V ein symmetrischer Operator mit verschiedenen Eigenwerten λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{r}. Weitherhin sei

V_{λ}(A) = {v ∈ V ; Av = λv}

der Eigenraum von A zum Eigenwert λ.

(a) Zeigen Sie, daß V_{λ}(A) ein A-invarianter Unterraum von V ist.

(b) Zeigen Sie, daß V die direkte Summe der Eigenräume ist, d.h.

V = V_{λ_{1}} ⊕ ⋯ ⊕ V_{λ_{r}}.

(c) Es seien λ_{i}, λ_{j} zwei unterschiedliche Eigenwerte. Zeigen Sie, daß ⟨V_{λ_{i}}, V_{λ_{j}}⟩ = 0.

Lösung:

(a) Lassen Sie v, w ∈ V_{λ}(A) dann gilt Av = λv und Aw = λw. Es folgt dann das für beliebige a, b ∈ 𝕂: A(av + bw) = aAv + bAw = λ(av + bw) also av + bw ∈ V_{λ}(A), damit ist V_{λ}(A) ein lineares Unterraum von V. Wieder, lassen Sie u = Av = λv dann ist Au = Aλv = λAv = λ^{2}v = λu also ist A(V_{λ}(A)) ⊆ V_{λ}(A).

(b) Lassen Sie y_{i} ein Basis von V bestehend aus Eigenvektoren von A, wobei Ay_{i} = λ_{i}y_{i}. Dann gilt natürlich, daß jedes v ∈ V eindeutig als v = a_{1}y_{1} + ⋯ + a_{r}y_{r} darstellbar ist. Ferner wissen wir das, weil v_{i} = a_{i}y_{i} ∈ V_{λ_{i}}(A), also ist v als v = v_{1} + ⋯ + v_{r} eindeutig darstellbar und V = V_{λ_{1}} ⊕ ⋯ ⊕ V_{λ_{r}}.

(c) Sei λ_{i} ≠ λ_{j}, und v_{i} ∈ V_{λ_{i}}(A), v_{j} ∈ V_{λ_{j}}(A). Dann ist (Av_{i}, v_{j}) = λ_{i}(v_{i}, v_{j}) und (v_{i}, Av_{j}) = λ_{j}(v_{i}, v_{j}) aber A ist symmetrisch, also (Av_{i}, v_{j}) = (v_{i}, Av_{j}) und es folgt, daß λ_{i}(v_{i}, v_{j}) = λ_{j}(v_{i}, v_{j}) und wenn λ_{i} ≠ λ_{j} ist das nur möglich, wenn (v_{i}, v_{j}) = 0.

(T 2)

Es sei V = M_{n}(ℝ) die Vektorraum der reellen n × n Matrizen, S ⊂ V der Unterraum der symmetrischen Matrizen. Weiterhin sei

⟨A, B⟩ = Spur(AB).

(a) Beweisen Sie, daß ⟨·, ·⟩ eine nicht-ausgeartet Bilinearform ist (d.h. aus ⟨A, B⟩ = 0 für alle B ∈ V folgt A = 0.)

(b) Welche Dimension hat S?

(c) Zeigen Sie, daß ⟨·, ·⟩ ein Skalarprodukt auf S ist.

(d) Es sei W ⊂ S der Unterraum bestehend aus Matrizen mit Spur 0. Was ist die Dimension von W? Was ist die Dimension von W^{⊥}? (bezüglich dem Raums S und dem oben eingeführten Skalarprodukt).

Lösung:

(a) Lassen Sie A = (a_{ij}), B = (b_{ij}), C = (c_{ij}) ∈ V. Dann gilt

⟨A, B⟩ = Spur(AB) = Σ_{k,l}a_{lk}b_{kl}.

Also, ⟨A + C, B⟩ = Σ_{k,l}(a_{lk} + c_{lk})b_{kl} = Σ_{k,l}a_{lk}b_{kl} + Σ_{k,l}c_{lk}b_{kl} = ⟨A, B⟩ + ⟨C, B⟩ . Genauso folgt ⟨A, B + C⟩ = ⟨A, B⟩ + ⟨A, C⟩.

Weiter, wann ⟨A, B⟩ = 0 für jedes B ∈ V gilt das naturlich auch für die Matrizen B_{mn} = (b_{i}j) wobei b_{i}j = δ_{mi}δ_{nj} = 1 für m = i und n = j und sonst 0. Für diese Matrizen ist dann ⟨A, B_{mn}⟩ = Σ_{k,l}a_{lk}b_{kl} = a_{mn} und wenn ⟨A, B_{mn}⟩ = 0, dann müss a_{mn} = 0. Also wenn ⟨A, B_{mn}⟩ = 0 für jedes m, n dann müss A = 0 sein.

(b) Wenn A ∈ S, dann ist a_{ij} = a_{ji} so wir können (z.B.) die obere rechte Dreick zusammen mit der Diagonale beliebig wählen. Die Dimension ist also gegebn durch Σ_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}.

(c) Wir haben ⟨A, A⟩ = Σ_{k,l}a_{lk}a_{kl} = Σ_{k,l}a_{kl}^{2} ≥ 0 und ⟨A, A⟩ = 0 nur, wenn a_{kl} = 0 für jede k, l, also wenn A = 0. Also ⟨·, ·⟩ ist ein positiv definites Skalarprodukt auf S.

(d) Weil die Dimension von S gleich \frac{n(n+1)}{2} und die einzige Restriktion die lineare Gleichung Spur = 0 ist, ist dann die Dimension von W gleich \frac{n(n+1)}{2} − 1. Da das Skalarprodukt pos. definit auf S ist, gilt S = W ⊕ W^{⊥}, also ist die Dimension von W^{⊥} gleich 1.

(T 3)

Es seien V und ⟨·, ·⟩ wie in Aufgabe 2 und D ⊂ V der Unterraum von Diagonalmatrizen. Beschreiben Sie den Raum D^{⊥}. Was ist die Dimension von D^{⊥}?

Lösung:

Wenn A = (a_{ij}) ∈ V und B = (d_{i}) ∈ D, dann ist ⟨A, B⟩ = Spur(AB) = Σa_{jj}d_{j}, also wenn ⟨A, B⟩ = 0 für jedes B ∈ D, dann müss jedes a_{jj} = 0, also A ∈ D^{⊥} wenn und nur wenn jedes diagonale Element a_{jj} = 0. Die Dimension von D^{⊥} is damit gleich n^{2} − n = n(n − 1).

(T 4)

Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über ℂ mit einer positiv definiten Hermitischen Form ⟨·, ·⟩.

(a) Es sei A : V → V ein Hermitischer Operator und v ∈ V ein von Null verschiedener Eigenvektor von A. Für w ∈ W, zeigen Sie, daß wenn w ⊥ v dann ist auch Aw ⊥ v.

(b) Zeigen Sie, daß wenn W ⊂ V stabil unter A ist, d.h. Aw ∈ W für jedes w ∈ W, dann ist W^{⊥} auch stabil unter A.

Lösung:

(a) Wenn ⟨w, v⟩ = 0, dann ist ⟨Aw, v⟩ = ⟨w, Av⟩ = λ ⟨w, v⟩ = 0.

(b) Sei A(W) ⊆ W. Dann gilt für u ∈ W^{⊥} und w ∈ W mit Aw = w′ ∈ W, daß ⟨Au, w⟩ = ⟨u, Aw⟩ = ⟨u, w′⟩ = 0 weil u ∈ W^{⊥} und w′ ∈ W. Also, Au ∈ W^{⊥} und W^{⊥} ist stabil unter A.

(T 5) Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über ℂ mit einer Sesquilinearform ⟨·, ·⟩ und V^{∗} = hom(V, ℝ) der Dualraum zu V. Für jedes v ∈ V sei L_{v} : V → ℂ durch

L_{v}(w) =< v, w >, w ∈ V

gegeben.

(a) Zeigen Sie, daß L_{v} ∈ V^{∗}

(b) Zeigen Sie, daß A : v ↦ L_{v} ein lineare Abbildung: V → V^{∗} ist.

(c) Zeigen Sie, daß A : V → V^{∗} isomorph sind.

Lösung: (

a) Für u, w ∈ V und a, b ∈ ℂ haben wir

L_{v}(au + bw) = ⟨v, au + bv⟩ = a ⟨v, u⟩ + b ⟨v, w⟩ = aL_{v}(u) + bL_{v}(w),

folglich L_{v} ∈ V^{∗}.

(b) Für v_{1}, v_{2} ∈ V und a, b ∈ ℂ haben wir

L_{av_{1}+bv_{2}}(w) = ⟨av_{1} + bv_{2}, w⟩ = a ⟨v_{1}, w, +⟩ b ⟨v_{2}, w⟩ = aL_{v_{1}}(w) + bL_{v_{2}}(w)

für jedes w ∈ V. Also A : v ↦ L_{v} ist eine lineare Abbildung von V in V^{∗}.

(c) Wenn L_{v} = 0, dann ist ⟨v, w⟩ = 0 für jedes w ∈ V also muss v = 0 sein, weil das Skalarprodukt nicht-degeneriert ist. Also, der Kern von A ist gleich 0, also ist A injektiv, und A muss auch surjektive werden, weil dimV = dimV^{∗}. Also ist A : V → V^{∗} isomorph.