Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2008 2. Juni 2008

Lineare Algebra II

9. Übung

Gruppenübungen

(G 36) Transformationsverhalten von Bilinearformen

Sei 𝕂 = ℝ oder ℂ und V, W endlichdimensionale 𝕂-Vektorräume. Weiter sei β : V × W → 𝕂 eine Bilinearform und B die zugehörige Grammatrix bezüglich einer Basis V = {v_{1}, …, v_{n}} von V sowie einer Basis W = {w_{1}, …, w_{m}} von W. Sind nun V′ = {v′_{1}, …, v′_{n}} sowie W′ = {w′_{1}, …, w′_{m}} beliebige Basen von V bzw. W und B′ die Grammatrix zu β bezüglich V′ und W′, so gilt

B′ = S^{t}BT,

wobei S eine Übergangsmatrix von V nach V′ und T eine Übergangsmatrix von W nach W′ bezeichnet.

(a) Leiten Sie diesen Satz aus der Matrixbeschreibung von β her. (β(x, y) = x^{t}By, bezüglich V, W.)

(b) Folgern Sie, daraus: Ist β eine Bilinearform auf V und sind B und B′ die Grammatrizen zu β bezüglich zweier Basen V und V′ von V, so gilt

det(B) = α^{2} det(B′), mit einem α ∈ 𝕂.

(G 37)

Auf ℝ^{3} seien Bilinearform β_{1} und β_{2} bezüglich der Standardbasis durch ihre Grammatrizen

B_{1} = (\begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) , B_{2} = (\begin{matrix}0 & \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix}) ,

definiert. Geben Sie zu i = 1,2 eine Basis an, in der die Grammatrix von β_{i} Diagonalgestalt hat.

(G 38) Bilinearformen durch Integrale

Im Folgenden bezeichne P_{n}(ℝ) den Vektorraum der reellen Polynome vom Grad ≤ n. Sei ϕ die Bilinearform auf P_{2}, welche durch

ϕ(f, g) := ∫_{−1}^{1} f(x)g(x)dx

definiert wird. Berechnen Sie die Grammatrix von ϕ bezüglich der Basis 1, x, x^{2} von P_{2}.

(G 39)

Sei 𝕂 = ℝ oder ℂ und V eine endlichdimensionaler Vektorraum über 𝕂. Weiter sei β : V ×V → 𝕂 eine nicht entartete Bilinearform. Zeigen Sie: Ein System v_{1}, …, v_{m} von Vektoren aus V ist linear unabhängig, wenn die m × m - Matrix

M = (\begin{matrix}β(v_{1}, v_{1}) & … & β(v_{1}, v_{m}) \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ β(v_{m}, v_{1}) & … & β(v_{m}, v_{m}) \end{matrix})

nicht singulär ist.

(G 40) Auf dem Vektorraum M_{2}(ℝ) der reellen 2 × 2-Matrizen sei b die folgendermaßen definierte Abbildung:

b : M_{2}(ℝ) × M_{2}(ℝ) → ℝ, b(A, B) = Spur(AB).

(a) Zeigen Sie, dass b eine symmetrische Bilinearform auf M_{2}(ℝ) ist.

(b) Berechnen Sie die zu b gehörige Grammatrix im Bezug auf die Basis

e_{1} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , e_{2} = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , e_{3} = (\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , e_{4} = (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

(c) Geben Sie eine Basis f_{1}, …, f_{4} von M_{2}(ℝ) an mit

\begin{matrix}b(f_{j}, f_{k}) = 0 für j ≠ k, j, k ∈ \{1, …, 4\}, \\ und b(f_{j}, f_{j}) = 1, j = 1, …, 4. \end{matrix}

Hausübungen

Im Folgenden bezeichne, wie in Aufgabe (G 38), P_{n}(ℝ) den Vektorraum der reellen Polynome vom Grad ≤ n.

(H 21) Auf dem ℝ-Vektorraum P_{3}(ℝ) sei die Bilinearform β wie folgt definiert:

β(p_{1}, p_{2}) = p_{1}(1)p_{2}(2) + p_{1}(2)p_{2}(1)

(a) Bestimme den Teilraum V_{0} = {p ∈ v | β(p, q) = 0. ∀q ∈ V }.

(b) Bestimme eine Orthogonalbasis von P_{3}(ℝ) bezüglich β, d.h. eine Basis f_{1}, …, f_{4} mit β(f_{i}, f_{j}) = 0 für i ≠ j.

(H 22) Betrachten Sie die folgenden Bilinearformen auf P_{1}:

\begin{aligned}ϕ(f, g) & := ∫_{0}^{1} (∫_{0}^{1}(x + y)f(x)g(y) dx) dy \\ ψ(f, g) & := ∫_{0}^{1} (∫_{0}^{1}(x − y)f(x)g(y) dx) dy. \end{aligned}

Bestimmen Sie die Grammatrizen von ϕ und ψ im Bezug auf die Basis 1, x.

(H 23)

(a) Finden Sie auf ℝ^{2} symmetrische Bilinearformen zu den folgenden quadratischen Formen:

\begin{matrix}q_{1}(x) = x_{1}^{2}, q_{2}(x) = x_{1}^{2} − x_{2}^{2}, q_{3}(x) = x_{1}x_{2}, \\ und q_{4}(x) = (x_{1} + x_{2})^{2}, (x = (x_{1}, x_{2})^{t} ∈ ℝ^{2}) . \end{matrix}

(b) Zeigen Sie: Die quadratische Form q : ℝ^{2} → ℝ, q(x) = ax_{1}^{2} + 2bx_{1}x_{2} + cx_{2}^{2} gehört genau dann zu einer nicht entarteten symmetrischen Bilinearform, wenn b^{2} ≠ ac.

(Hinweis: Benutzen Sie die Formel aus (H 20b).)