Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Erik Hofmann Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

�

SS 2008 6.10.2007

Lineare Algebra II

8. Übung

Gruppenübungen

(G 33) Wiederholung

(a) Bestimmen Sie die Jordan-Normalform der folgenden Matrizen:

(i) B = (\begin{matrix}1 & −3 & 3 \\ 3 & −5 & 3 \\ 6 & −6 & 4 \end{matrix}) (ii) A = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ −1 & −1 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ −1 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix})

(b) Die Abbildung Φ : ℝ^{3} → ℝ^{3}, Φ(x) = Ax mit

A = ( \begin{matrix}\frac{1}{4} \sqrt{3} + \frac{1}{2} & \sqrt[\frac{1}{4}]{2} & −\frac{1}{4} \sqrt{3} + \frac{1}{2} \\ −\frac{1}{4} \sqrt{2} & \sqrt[\frac{1}{2}]{3} & \sqrt[\frac{1}{4}]{2} \\ −\frac{1}{4} \sqrt{3} + \frac{1}{2} & −\frac{1}{4} \sqrt{2} & \frac{1}{4} \sqrt{3} + \frac{1}{2} \end{matrix} )

ist eine Drehung um eine Achse. Bestimmen Sie die Richtung der Drehachse und den Drehwinkel.

(G 34) Adjungierte Abbildungen

Beweisen Sie: Sind g : U → V, f : V → W zwei lineare Abbildungen zwischen 𝕂-Vektorräumen, so gilt (fg)^{∗} = g^{∗}f^{∗}.

Definition: Die darstellende Matrix A = (f(v_{i}, v_{j}))_{ij} einer Bilinearform V × V → 𝕂 bezüglich einer Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von V (vgl. 7. Tutorium) wird die Gram-Matrix von f bezüglich B genannt.

(G 35) Bilinearformen

(a) Die Bilinearform F : ℝ^{3} × ℝ^{3} → ℝ sei bezüglich der Standardbasis durch die Gram-Matrix

A = ( \begin{matrix}2 & 3 & 5 \\ 3 & 1 & 4 \\ 5 & 4 & 9 \end{matrix} )

gegeben. Gibt es einen nicht trivialen Unterraum U ≤ ℝ^{3}, so daß für alle x ∈ U die Abbildung f_{x} := F (x, −) : ℝ^{3} → ℝ identisch Null ist?

(b) Es sei nun G : ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ eine Bilinearform mit Gram-Matrix B = ( \begin{matrix}−2 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} )

bezüglich der Standardbasis. Gibt es einen nicht trivialen Unterraum U wie in a), d.h. so, daß G(x, −) ≡ 0 für alle x ∈ U gilt?

Es sei Q die G entsprechende quadratische Form Q(x) := G(x, x). Für welche Unterräume U von ℝ^{2} ist Q_{|U} : U → ℝ identisch Null, d.h. q(u) = 0 für alle u ∈ U?

Hausübungen

(H 19) Adjungierte Abbildungen

Es sei f : V → W lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen 𝕂-Vektorräumen. Beweisen Sie folgende aussagen:

(a) Ist f injektiv, so f^{∗} : W^{∗} → V^{∗} surjektiv.

(b) Ist f surjektiv, so f^{∗} : W^{∗} → V^{∗} injektiv.

(c) Ist f ein Isomorphismus, so ist auch f^{∗} : W^{∗} → V^{∗} ein Isomorphismus.

(H 20) Bilinearformen

(a) Zeigen Sie, daß jede reelle Bilinearform die Summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Bilinearform ist.

(b) Zeigen Sie, daß die Abbildung f(v, w) = \frac{1}{2}[q(v + w) − q(v) − q(w)] für jede reelle quadratische Form q bilinear und symmetrisch ist.