Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg Sommersemester 2008

May 23, 2008

Lineare Algebra II

7. Übung

Gruppenübungen

(G 30)

(a) Seien 𝕂 ein Körper (= ℝ, ℂ), n ∈ ℕ, A ∈ M_{n}(𝕂) und J ∈ M_{n}(𝕂) die Jordansche Normalform von A. Zeigen Sie, daß für jedes α ∈ 𝕂 die beiden Matrizen J − αE und A − αE denselben Rang haben.

(b) Bestimme den Rang von A − E für

A = ( \begin{matrix}0 & −1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & −2 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} )

und zeige (A − E)^{2} = 0. Bestimme aus diesen beiden Berechnungen die Jordansche Normalform von A.

(G 31) Euklidischer Algoritmus für Polynome

Sei 𝕂 ein Körper und Sei P = P(𝕂) der Vektorraum der Polynome mit Koeffizienten aus 𝕂. Ein Polynome q ∈ P heist Teiler von p ∈ P wann es gibt r ∈ P so daß p = rq. Man schreibt q|p. Die Polynome q heißt nicht-triviale Teiler wenn der Grad von q > 0. Der größte gemeinsamme Teiler von zwei Polynome p_{1}, p_{2} ∈ P, q = ggT(p, q) ist definiert durch: q|p_{1} und q|p_{2} und wenn r|p_{1} und r|p_{2} folgt r|q.

Der Euklidische algoritmus für Polynome ist änlich wie für Zahlen. Sei q_{0}, q_{1} ∈ P mit Grad(q_{0}) > Grad(q_{1}). Für n ≥ 1 definieren wir r_{n+1} und q_{n+1} recursive durch Division mit Rest:

q_{n−1} = q_{n} r_{n+1} + q_{n+1}.

Wann q_{n+1} = 0 brechen wir ab und ggT(q_{0}, q_{1}) = q_{n}.

(a) Zeigen Sie, daß der obige algorithmus terminiert, d.h. es immer ein N < ∞ so daß q_{N+1} = 0 gibt.

(b) Berechnen Sie die ggT(p, q) für p(x) = x^{8} − 1 und q(x) = x^{15} − 1.

(c) Die sogenannte Fibonacci Polynome sind durch F_{0}(x) = 1, F_{1}(x) = x und

F_{m+1} = xF_{m} + F_{m−1}, m ≥ 1

definiert. Zeigen Sie, daß die Folge F_{m} die eigenschaft daß die Berechnung von ggT(F_{m}, F_{m+1}) genau m Schritte benötigt (ohne Schritt 0) hat.

(d) Geben Sie F_{2}, F_{3}, F_{4} an.

(e) Wie kann man die Fibonacci Zahlen, f_{m} von die Fibonacci Polynome, F_{m}(x) bekommen?

(G 32) Bidualraum

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper 𝕂 und V^{∗} der Dualraum von V. Dann nennt man V^{∗∗}, der Dualraum von V^{∗}, der Bidualraum von V.

(a) Sei v_{1}, …, v_{n} ein Basis für V und sei v_{i}^{∗} ∈ V^{∗} definiert durch v_{i}^{∗}(v_{j}) = δ_{ij}. Zeigen Sie, daß v_{1}^{∗}, …, v_{n}^{∗} ein Basis für V^{∗} ist, die sogenannte Dualbasis bezügl. der Basis v_{1}, …, v_{n}.

(b) Zeigen Sie, daß für jedem v ∈ V mit v ≠ 0 ein φ ∈ V^{∗} so daß φ(v) ≠ 0 gibt.

(c) Zeigen Sie, daß für jede v ∈ V ein λ_{v} ∈ V^{∗∗} gibt so daß die Abbildung v ↦ λ_{v} ein Isomorphismus ist.

Hausübungen

(H 17) Spiegelung

(a) Zeige, daß eine Matrix genau dann diagonalizierbar ist, wenn für jeden Eigenwert der geometrische mit die algebraische Vielfachheit übereinstimmt.

(b) Sei V ein n-dimensionaler 𝕂-Vektorraum (𝕂 = ℝ, ℂ). Eine endomorphismus S : V → V heißt Spiegelung, wenn S^{2} = E und Rang(S − E) = 1. Zeige, daß jede Spiegelung diagonalisierbar ist und bestimme ihr characteristisches Polynom.

(c) Sei

M(φ) = ( \begin{matrix}cos(φ) & sin(φ) \\ sin(φ) & − cos(φ) \end{matrix} ) , φ ∈ ℝ.

Zeigen Sie, daß M(φ) ein Spiegelung ist.

(d) Geben Sie ein Beispiel für ein Spegelung in ℂ^{4} an.

(H 18)

Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über dem Körper 𝕂 und V^{∗} der Dualraum zum V. Ist W ⊆ V ein Unterraum zum V, so heißt

W^{0} = {φ ∈ V^{∗} : φ(w) = 0 für alle w ∈ W } ⊆ V^{∗}

der zu W orthogonale Raum.

(a) Zeigen Sie, daß W^{0} ⊆ V^{∗} ein Untervektorraum ist.

(b) Zeigen Sie, daß wenn w_{1}, …, w_{k} eine Basis von W ist und w_{1}, …, w_{k}, v_{1}, …, v_{r} ein Basis von V ist, dann ist v_{1}^{∗}, …, v_{r}^{∗} eine Basis von W^{0}. Insbesondere gilt

dim(W) + dim(W^{0}) = dim(V).

(c) Zeigen Sie, daß (W^{0})^{0} = W.

(d) Sei

W = {(t, 0, 0) : t ∈ ℝ} ⊆ ℝ^{3}.

Bestimmen Sie W^{0}.

(e) Seien V = ℝ^{5}, v_{1} = (1, 1, 1, 1, 1), v_{2} = (5, 4, 3, 2, 1) und W = Span(v_{1}, v_{2}) ⊆ ℝ^{5}. Geben Sie eine Basis für W^{0} an.