Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2008 13. Mai 2008

Lineare Algebra II

6. Übung

Gruppenübungen

(G 27)

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper 𝕂, (𝕂 = ℝ oder ℂ). Weiter sei f : V → V ein Endomorphismus und P_{f}(X) dessen charakteristisches Polynom. Beweisen Sie: P_{f}(X) ist irreduzibel (über 𝕂), dann und nur dann, wenn {0} und V die einzigen f-invarianten Teilräume von V sind.

(G 28)

Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum (Dimension n) über einem Körper 𝕂. Weiter seien f, g Endomorphismen von V. Zeigen Sie folgende Aussagen:

(a) Sind f und g beide diagonalisierbar und miteinander vertauschbar, so sind auch f + g und f ∘ g diagonalisierbar.

(b) Sind f und g beide nilpotent und miteinander vertauschbar, so sind auch f + g und f ∘ g nilpotent.

(c) Sind f und g von endlicher Ordnung und miteinander vertauschbar, so ist auch f ∘ g von endlicher Ordnung. (Vorsicht: f +g muss nicht von endlicher Ordnung sein. Finden Sie ein Gegenbeispiel.)

(d) Finden Sie für jedes n > 1 ein Beispiel für nilpotente Endomorphismen f und g, für die f ∘ g nicht nilpotent ist.

(e) Finden Sie außerdem für n = 2 ein Beispiel, in welchem f + g für zwei nilpotente Operatoren f, g nicht nilpotent ist.

(G 29)

Sei 𝕂 ein Körper und A eine n × n Matrix der Form

A = (\begin{matrix}0 & . . . . . . . . . & −a_{0} \\ 1 & 0 & . . . . . . & −a_{1} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 1 & −a_{n−1} \end{matrix})

mit a_{0}, …, a_{n} ∈ 𝕂.

(a) Man zeige: Das charakteristische Polynom P_{A}(X) hat die Form

P_{A}(X) = X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + ⋯ + a_{1}X + a_{0}.

(b) Zeigen Sie, dass der zum Eigenwert λ von A der zugehörige Eigenraum 1-dimensional ist.

(c) Nehmen Sie an, dass P_{A}(X) über 𝕂 vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Was können Sie über die Jordan-Normalform von A sagen?

Hausübungen

(H 16)

Betrachen Sie folgende Matrix A, die in Abhängigkeit von einem Parameter c ∈ ℝ gegeben ist

A_{c} = (\begin{matrix}2 & −6c & c \\ 0 & −1 & 0 \\ −\frac{1}{2} & c & 3 \end{matrix}) .

(a) Bestimmen Sie die beiden Parameterwerte c_{1} und c_{2}, sodass A einen Eigenwert mit algebraischer Vielfacheit 2 hat.

(b) Bestimmen Sie jeweils für die beiden Parameterwerte c_{1} und c_{2} eine Basis des ℝ^{3}, in der A_{c} Jordan-Normalform hat und geben Sie geeignete Transformationsmatrizen an.

(H 17)

Betrachten Sie Matrizen M(ϕ) ∈ M_{2}(ℝ) der folgenden Form

M(ϕ) = (\begin{matrix}cos(ϕ) & sin(ϕ) \\ sin(ϕ) & − cos(ϕ) \end{matrix}) , ϕ ∈ ℝ.

(a) Beschreiben Sie die geometrische Wirkung von M(ϕ) auf die (euklidsche) Ebene ℝ^{2}.

(b) Zeigen Sie: Für jedes ϕ ist M(ϕ) von endlicher Ordnung.

(c) Zeigen Sie, dass für zwei reelle Zahlen ξ, ψ, mit ξ ≢ ψ mod 2π (also ψ − ξ ∉ 2πℤ)

gilt

M(ξ)M(ψ) ≠ M(ψ)M(ξ).

Beschreiben Sie die geometrische Wirkung von M(ξ)M(ψ) und M(ψ)M(ξ).

(d) Finden Sie nun ein Beispiel für (ξ, ψ), sodass M(ξ)M(ψ) nicht von endlicher Ordnung ist. (Hinweis: Wie muss man eine reelle Zahl μ wählen, sodass kμπ für kein ganze Zahl k ein Vielfaches von 2π ist?)