Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Erik Hofmann Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2008 6.10.2007

Lineare Algebra II

5. Übung

Gruppenübungen

(G 21) Jordan-Normalform

Zeigen Sie, daß die Matrix

A := (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix})

in ℝ keine Jordannormalform besitzt.

(G 22) Das Minimalpolynom

Definition: Ein Minimalpolynom eines Endomorphismus f ∈ hom(V, V) (V endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper 𝕂) ist ein nichttriviales Polynom m_{f} ∈ 𝕂[X] kleinsten Grades mit Leitkoeffizient 1, für welches p(f) = 0 gilt.

Beweisen Sie, daß Minimalpolynome eindeutig sind und daß das Minimalpolynom immer existiert.

(G 23) Jordan-Normalform

Transformieren Sie die folgendende Matrix auf Jordannormalform.

A := ( \begin{matrix}0 & −4 & −4 \\ 0 & 0 & −1 \\ 2 & 4 & 6 \end{matrix} ) .

Bestimmen Sie hierzu die verallgemeinerten Eigenräume.

(G 24) Komplexe 2x2-Matrizen

Zeigen Sie, daß eine komplexe nicht nilpotente 2 × 2–Matrix A eine Quadratwurzel hat, d.h. daß eine komplexe 2 × 2–Matrix B mit B^{2} = A existiert.

Hinweis: Betrachten Sie die möglichen Jordannormalformen von A.

(G 25) Jordan-Normalform

Bestimmen Sie jeweils eine Jordannormalform und eine zugehörige Jordanbasis der Matrizen

A := (\begin{matrix}3 & 0 & −1 & 0 \\ 2 & 3 & −2 & −1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & −1 & 2 \end{matrix}) und B := (\begin{matrix}−1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & −1 & −2 & −2 \\ 0 & 0 & −1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & −1 \end{matrix}) .

Hausübungen

(H 13) Jordan-Normalform (10 Punkte) Bestimmen Sie jeweils eine Jordannormalform der folgenden Matrizen:

A := (\begin{matrix}−1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 42 \end{matrix}) , B := (\begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) und C := (\begin{matrix}2 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & 2 \end{matrix}) .

(H 14) Berechneung von e^{At} (10 Punkte) In dieser Aufgabe werden wir uns überlegen, wie man zu einer n × n-Matrix A ihr Bild unter der Exponentialfunktion berechnet.

(a) Berechnen Sie e^{At} für eine Diagonalmatrix A.

(b) Berechnen Sie e^{At} für einen Jordanblock. Hinweis: Zerlegen Sie A zu A = λE + N, mit N nilpotent.

(c) Wie kann man e^{At} für eine diagonalisierbare Matrix berechnen?

(H 15) Jordan-Normalform (10 Punkte) Lösen Sie Aufgabe G25.