Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg Sommersemester 2008

April 30, 2008

Lineare Algebra II

4. Übung

Gruppenübungen

(G 17) Eigenwerte von Matrizen endlicher Ordnung

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und f : V → V ein Endomorphismus (f ≠ id_{V}). Es gelte f^{m} = id_{V}, für ein m > 1. Zeigen Sie: Die Eigenwerte von f sind m-te Einheitswurzeln.

(G 18)

Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über ℂ, f : V → V ein Endomorphismus und W ⊆ V ein f-invarianter Unterraum. Sei p(x) das charakteristische Polynom von f und p_{W} (x) das charakteristische Polynom von f_{|W}.

(a) Zeigen Sie, daß p_{W} ein Teiler von p ist.

(b) Zeigen Sie, daß, wenn W ≠ V, dann ist p_{W} ein nicht-trivialer Teiler von p.

(G 19)

Es seien V = ℝ^{3} und A : V → V ein Endomorphismus gegeben (bzgl. Standardbasis) durch die Matrix

A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 8 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{matrix} )

(a) Berechne das charakteristische Polynom von A und gebe die Eigenwert von A an.

(b) Sei W der Eigenraum von A bezügl. Eigenwert λ_{1} = 2. Beschreiben Sie W in einfachen Worten. Gebe eine Matrix für A_{W} an und berechne das charakteristische Polynom von A_{|W}, p_{W} (x).

(c) Sei W′ der Eigenraum von A bezügl. der 2 andere Eigenwerte (λ_{2}, λ_{3} ≠ 2). Beschreiben Sie W′ in einfacher Worter. Geben Sie eine Matrix für A_{W′} und berechnen Sie das charakteristische Polynom von A_{|W}, p_{W} (x).

(G 20)

Es seien V = ℝ^{3} und A : V → V ein Endomorphismus. Zeigen Sie, daß es Endomorphismen D : V → V und N : V → V gibt, so daß A = D + N, D diagonalisierbar ist, N nilpotent ist und DN = ND. (Hinweis: Benutzen Sie die Jordan-Zerlegung)

Hausübungen

(H 10) Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über ℂ und f : V → V ein normaler Endomorphismus. Zeigen Sie folgende Aussagen:

(a) f ist selbstadjungiert genau dann, wenn alle Eigenwerte von f reell sind.

(b) f ist unitär genau dann, wenn alle Eigenwerte den Betrag 1 haben.

(H 11) Es sei D ∈ M_{n}(ℂ), und d habe n verschiedene Eigenwerte. Zeigen Sie: Für jedes C ∈ M_{n}(ℂ) sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. CD = DC.

2. C und D sind simultan Diagonaliserbar.

3. Es gibt ein Polynom p, so dass C = p(D).

(H 12) Jordansche Normalform Seien V = ℝ^{4} und A : V → V ein Endomorphismus gegeben (bzgl. Standardbasis) durch die Matrix:

A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & −1 \\ −1 & 0 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & −1 & 1 \end{matrix} )

(a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynome von A.

(b) Bestimmen Sie die verallgemeinerten Eigenräume von A, d.h. V^{r}(λ) = ker(A−E)^{r}, r ≥ 1.

(c) Bestimmen Sie eine zyklische Basis für V bezüglich A.

(d) Was ist die Matrix für A bezüglich dieser Basis?