Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2008 25. April 2008

Lineare Algebra II

3. Übung

Gruppenübungen

(G 13) QR-Zerlegung

Sei 𝕂 ∈ {ℝ, ℂ} und B eine n × m Matrix mit Einträgen aus 𝕂, weiterhin gelte rang(B) = m. Dann hat B eine Zerlegung

B = QR,

wobei Q eine n × m Matrix ist, deren Spalten ein Orthonormalsystem bilden, und R eine m × m Dreiecksmatrix ist. Berechnung der QR-Zerlegung: Man orthonormalisiert die Spalten b_{1}, …, b_{m} von B mit dem Gram-Schmidt Verfahren:

u_{1} = b_{1},  v_{1} = \frac{u_{1}}{∥u_{1}∥}
u_{2} = b_{2} − ⟨b_{2}, v_{1}⟩ v_{1},  v_{2} = \frac{u_{2}}{∥u_{2}∥}
. . . . . .
u_{m} = b_{m} − ∑_{i=1}^{m−1} ⟨b_{m}, v_{i}⟩ v_{i}, v_{m} = \frac{u_{m}}{∥u_{m}∥}.

Die Spalten von Q sind nun die Vektoren v_{1}, … v_{m}.

Die Einträge von r_{ij} von R sind geben durch

\begin{aligned}r_{ij} & = ⟨b_{j}, v_{i}⟩ , für j > i, \\ r_{ii} & = ∥u_{i}∥, \\ r_{ij} & = 0, für j < i. \end{aligned}

(a) Überprüfe die Identität B = QR.

(b) Berechne die QR-Zerlegung bezüglich des Standardskalarproduktes auf ℝ^{4} der Matrix

B = (\begin{matrix}1 & 3 & 3 \\ −1 & 1 & −1 \\ 1 & −1 & −1 \\ −1 & −3 & −1 \end{matrix}) .

(G 14) Nilpotente Endomorphismen

Sei V ein Vektorraum der Dimension n über dem Grundkörper 𝕂 (𝕂 = ℝ oder ℂ).

(a) Sei f ein nilpotenter Endomorphismus mit f^{i} ≠ 0 für i = 1, …, n−1 und f^{n} = 0. Sei weiter V ∋ v ≠ 0, mit f^{i}(v) ≠ 0 für 0 ≤ i ≤ n − 1. Zeigen Sie: v, f(v), …, f^{n−1}(v) bilden eine Basis von V.

(G 15)

Sei V ein (reeller) euklidischer Vektorraum mit dimV ≥ 1. Beweisen Sie: Zu jedem Endomorphismus f gibt einen Unterraum W < V mit 1 ≤ dimW ≤ 2 der unter f invariant ist. (Hinweis: Zerlegen Sie das charakteristische Polynom von f in irreduzible Faktoren. Wenn f keinen reellen Eigenvektor hat, benutzen Sie den Satz von Cayley-Hamilton, um ein w zu finden, für das lin{w, f(w)} unter f invariant ist.)

(G 16) Matrizen mit geometrischer Bedeutung (a) Wiederholen Sie die Definitionen unitärer und orthogonaler Matrizen.

(b) Zeigen Sie: Ist U eine unitäre Matrix, so ist gilt |det U| = 1.

(c) Sei A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ), mit a, b, c, d ∈ ℝ, eine orthogonale 2 × 2 Matrix, also A ∈ O(2). Welche Werte kann die Determinante von A annehmen?

(d) Schreiben Sie alle Gleichungen auf, die zwischen den Einträge von A genlten müssen, unterscheiden Sie dabei nach den in (c) auftretenen Fällen.

(e) Beschreiben Sie möglichst genau die geometrische Wirkung der folgenden orthogonalen Matrizen

\begin{matrix}A = \frac{1}{2} (\begin{matrix}\sqrt{3} & −1 \\ 1 & \sqrt{3} \end{matrix}) , und B = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , \\ C = \frac{1}{2} (\begin{matrix}1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & −1 \end{matrix}) \end{matrix}

(f) Geben Sie eine geometrische Charakterisierung der in (c) auftretenden Fälle!

Hausübungen

(H 7) Unitäre Gruppen, 10 Punkte Wie in Aufgabe (H 4) bezeichnen wir mit U(n) die Gruppe der unitären n × n Matrizen.

(a) Sei A eine komplexe n × n Matrix. Weisen Sie nach, dass A ∈ U(n) gilt genau dann wenn die Spalten s_{1}, …, s_{n} von A eine Orthonormalbasis des ℂ^{n} bilden.

(b) Weisen Sie nach, dass eine komplexe n × n Matrix genau dann unitär ist, wenn ihre Zeilen ein Orthonormalsystem bilden.

(H 8) Selbstadjungierte Endomorphismen, 10 Punkte

(a) Sei V ein 𝕂-Vektorraum (𝕂 = ℝ, ℂ) mit einem nicht ausgearteten Skalarprodukt ⟨ , ⟩ und f : V → V ein sebstadjungierter Endomorphismus. Zeigen Sie: Ist f nilpotent, so gilt bereits f = 0.

(b) Sei V ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum und A : V → V ein selbstadjungierter Endomorphismus. Aus Aufgabe (H 6) ist bekannt, dass es ein S gibt, so dass S^{−1}AS diagonal ist. Zeigen Sie: S kann unitär gewählt werden.

(H 9) 10 Punkte Berechne die QR-Zerlegung bezüglich des Standardskalarprodukts von ℝ^{4} für die Matrix

B = (\begin{matrix}2 & 4 & 3 & 5 \\ −2 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & −2 \\ −2 & 1 & 2 & 0 \end{matrix}) .