Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2008 18. Juni 2008

Lineare Algebra II

3. Übung mit Lösungshinweisen

Gruppenübungen

(G 13) QR-Zerlegung

Sei 𝕂 ∈ {ℝ, ℂ} und B eine n × m Matrix mit Einträgen aus 𝕂, weiterhin gelte rang(B) = m. Dann hat B eine Zerlegung

B = QR,

wobei Q eine n × m Matrix ist, deren Spalten ein Orthonormalsystem bilden, und R eine m × m Dreiecksmatrix ist. Berechnung der QR-Zerlegung: Man orthonormalisiert die Spalten b_{1}, …, b_{m} von B mit dem Gram-Schmidt Verfahren:

u_{1} = b_{1},  v_{1} = \frac{u_{1}}{∥u_{1}∥}
u_{2} = b_{2} − ⟨b_{2}, v_{1}⟩ v_{1},  v_{2} = \frac{u_{2}}{∥u_{2}∥}
. . . . . .
u_{m} = b_{m} − ∑_{i=1}^{m−1} ⟨b_{m}, v_{i}⟩ v_{i}, v_{m} = \frac{u_{m}}{∥u_{m}∥}.

Die Spalten von Q sind nun die Vektoren v_{1}, … v_{m}.

Die Einträge von r_{ij} von R sind geben durch

\begin{aligned}r_{ij} & = ⟨b_{j}, v_{i}⟩ , für j > i, \\ r_{ii} & = ∥u_{i}∥, \\ r_{ij} & = 0, für j < i. \end{aligned}

(a) Überprüfe die Identität B = QR.

(b) Berechne die QR-Zerlegung bezüglich des Standardskalarproduktes auf ℝ^{4} der Matrix

B = (\begin{matrix}1 & 3 & 3 \\ −1 & 1 & −1 \\ 1 & −1 & −1 \\ −1 & −3 & −1 \end{matrix}) .

Lösung:

(a) Aus dem Gram-Schmidt Verfahren erhält man mit den obigen Bezeichnungen:

b_{k} = ∥u_{k}∥v_{k} + ∑_{j=1}^{k−1} ⟨b_{k}, v_{j}⟩ v_{j}.

Bezeichnet man die Einträge von Q mit q_{ij} und die von R mit r_{ij} so ist die k-te Spalte von QR ist ein Vektor der Form

(∑_{j=1}^{m} q_{ij}r_{jk})_{i=1,...,n}.

Da nun q_{ij} nach Voraussetzung gleich der ite Komponente von v_{j} ist, gilt

(∑_{j=1}^{m} q_{ij}r_{jk})_{i=1,...,n} = ∑_{j=1}^{m} r_{jk}v_{j} = ∑_{j=1}^{k} r_{jk}v_{j} + 0 =

= ⟨b_{k}, v_{1}⟩ v_{1} + ⟨b_{k}, v_{2}⟩ v_{2} + ⋯ + ⟨b_{k}, v_{k−1}⟩ v_{k−1} + ∥u_{k}∥v_{k} = b_{k}.

Somit stimmen die m Spalten von QR mit den m Spalten von B überein.

(b) Wir führen das Gram-Schmidt Verfahren aus:

u_{1} = b_{1}, ∥u_{1}∥ = 2, v_{1} = \frac{1}{2} (\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix}) ,

u_{2} = b_{2} − ⟨b_{2}, v_{1}⟩ v_{1} = b_{2} − 2v_{1} = (\begin{matrix}2 \\ 2 \\ −2 \\ −2 \end{matrix}) , ∥u_{2}∥ = 4, v_{2} = \frac{1}{2} (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ −1 \\ −1 \end{matrix})

u_{3} = b_{3} − ⟨b_{3}, v_{1}⟩ v_{1} − ⟨b_{3}, v_{2}⟩ v_{2}b_{3} − 2v_{1} − 2v_{2} = (\begin{matrix}1 \\ −1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix}) , ∥u_{3}∥ = 2, v_{3} = \frac{1}{2} (\begin{matrix}1 \\ −1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix}) .

Zusammen erhält man die Zerlegung

B = (\begin{matrix}1 & 3 & 3 \\ −1 & 1 & −1 \\ 1 & −1 & −1 \\ −1 & −3 & −1 \end{matrix}) = \frac{1}{2} (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ −1 & 1 & −1 \\ 1 & −1 & −1 \\ −1 & −1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}2 & 2 & 2 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}) = QR.

Bemerkung: Anders als in der Aufgabenstellung kann man auch r_{ii} = ⟨b_{i}, v_{i}⟩ setzen, denn

⟨b_{i}, v_{i}⟩ = ⟨u_{i}, v_{i}⟩ + ∑_{j} ⟨b_{i}, v_{j}⟩ \underbrace{⟨v_{j}, v_{i}⟩}_{=0} = ⟨u_{i}, u_{i}⟩ ∥u_{i}∥^{−1} = ∥u_{i}∥ = r_{ii}.

(G 14) Nilpotente Endomorphismen Sei V ein Vektorraum der Dimension n über dem Grundkörper 𝕂 (𝕂 = ℝ oder ℂ).

(a) Sei f ein nilpotenter Endomorphismus mit f^{i} ≠ 0 für i = 1, …, n−1 und f^{n} = 0. Sei weiter V ∋ v ≠ 0, mit f^{i}(v) ≠ 0 für 0 ≤ i ≤ n − 1. Zeigen Sie: v, f(v), …, f^{n−1}(v) bilden eine Basis von V.

Lösung:

(a) (indirekter Beweis) Annahme: Die Vektoren v, f(v), …, f^{n−1}(v) sind linear abhängig, es gibt also Zahlen c_{0}, …, c_{n−1} ∈ 𝕂 nicht alle 0, sodass

0 = c_{0}v + c_{1}f(v) + ⋯ + c_{n−1}f^{n−1}(v).

Wir führen dies nun induktiv auf den Widerspruch c_{0} = c_{1} = ⋯ c_{n−1} = 0: Wendet man nämlich f^{n−1} auf die rechte Seite dieser Gleichung an, so erhält man

0 = c_{0}f^{n−1}(v) + 0,

also ist c_{0} = 0, da c_{0}f^{n−1}(v). Aus c_{0} = ⋯ = c_{i−2} = 0 folgert man durch anwenden von f^{n−i}, also 0 = ∑_{j=0}^{i−1} c_{j}f^{n−i+j)}(v) = 0 + c_{i−1}f^{n−1}(v) + 0, dass auch c_{i−1} = 0. Somit sind v, f(v), …, f^{n−1}(v) also ein System von n linear unabhängigen Vektoren, mithin eine Basis von V.

(G 15)

Sei V ein (reeller) euklidischer Vektorraum mit dimV ≥ 1. Beweisen Sie: Zu jedem Endomorphismus f gibt einen Unterraum W < V mit 1 ≤ dimW ≤ 2 der unter f invariant ist. (Hinweis: Zerlegen Sie das charakteristische Polynom von f in irreduzible Faktoren. Wenn f keinen reellen Eigenvektor hat, benutzen Sie den Satz von Cayley-Hamilton, um ein w zu finden, für das lin{w, f(w)} unter f invariant ist.)

Lösung:

Betrachte das charakteristische Polynom P_{f}(t) von f, über ℝ lässt sich dies folgendermaßen in irreduzible Faktoren zerlegen:

P_{f}(t) = c(t − λ_{1}) ⋯ (t − λ_{r})Q_{1}(t) ⋯ Q_{m}(t),

mit einer Konstante c ∈ ℝ, und irreduziblen quadratischen Polynomen Q_{i}(t), Q_{i}(t) = t^{2} + b_{i}t + c_{i}, mit reellen Zahlen b_{i} und c_{i}, für die b^{2} − 4c < 0. Es ist r > 0 genau dann, wenn f reelle Eigenwerte hat. Wir unterscheiden zwei Fälle:

• Sei r ≥ 1. Dann hat f mindestens einen Eigenwert λ_{1}. Ist v ein Eigenvektor zu diesem Eigenwert, so ist der eindimensionale Raum W = ℝv = {μv; μ ∈ ℝ} natürlich invariant unter f, da f(μv) = λμv ∈ W für jedes μ ∈ ℝ.

• Sei nun r = 0. Nach Cayley-Hamilton gilt

P_{f}(f)(v) = Q_{1}(f) ∘ ⋯ ∘ Q_{m}(f)(v) = 0, für jedes v ∈ V ,

dabei bezeichnet Q_{1}(f) die lineare Abbildung v ↦ (f ∘ f)v + b_{i}f(v) + c_{i}v.

Für ein festes v ∈ V, mit v ≠ 0, gibt es also ein j, 1 ≤ j ≤ m, so dass Q_{j} ∘ ⋯ ∘ Q_{m}(f)(v) = 0 und w := Q_{j+1} ∘ ⋯ ∘ Q_{m}(f)(v) ≠ 0. Für Q_{m}(f)(v) = 0 setzt man w = v. Es gilt also w ≠ 0 und Q_{j}(w) = 0.

Setzt man nun W = lin{w, f(w)}, so folgt aus

Q_{j}(w) = f(f(w)) + b_{j}f(w) + c_{j}w = 0, dass f(f(w)) ∈ W.

Damit folgt f(u) ∈ W für jedes u ∈ W, also ist W ein f-invarianter Teilraum. Die Dimension von W ist 2, da w nach Voraussetzung kein Eigenvektor sein kann.

(G 16) Matrizen mit geometrischer Bedeutung

(a) Wiederholen Sie die Definitionen unitärer und orthogonaler Matrizen.

(b) Zeigen Sie: Ist U eine unitäre Matrix, so ist gilt |det U| = 1.

(c) Sei A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ), mit a, b, c, d ∈ ℝ, eine orthogonale 2 × 2 Matrix, also A ∈ O(2). Welche Werte kann die Determinante von A annehmen?

(d) Schreiben Sie alle Gleichungen auf, die zwischen den Einträge von A genlten müssen, unterscheiden Sie dabei nach den in (c) auftretenen Fällen.

(e) Beschreiben Sie möglichst genau die geometrische Wirkung der folgenden orthogonalen Matrizen

\begin{matrix}A = \frac{1}{2} (\begin{matrix}\sqrt{3} & −1 \\ 1 & \sqrt{3} \end{matrix}) , und B = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , \\ C = \frac{1}{2} (\begin{matrix}1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & −1 \end{matrix}) \end{matrix}

(f) Geben Sie eine geometrische Charakterisierung der in (c) auftretenden Fälle!

Lösung:

(a) Eine komplexe Matrix U heißt unitär wenn U^{∗}U = E. Eine Matrix O heißt orthogonal wenn O nur reelle Einträge hat und O^{t}O = E.

(b) Die Determinante einer diagonalisierbaren Matrix ist gleich der Determinante ihrer Diagonalmatrix. Also ist det U gleich dem Produkt der Eigenwerte von U. Nun gilt für jeden Eigenwert λ von U, vgl. (H 4), dass λ ∈ ℂ mit |λ| = 1 also gilt | det U| = 1.

(c) A ist orthogonal, insbesondere also unitär. (Per Definition ist A^{−1} = A^{t}. Da A nur reelle Einträge hat, ist dies gleich A^{∗}.) Nach Teilaufgabe (b) | det A| = 1. Andererseits ist det A ∈ ℝ, also gibt es nur die zwei Möglichkeiten det A = +1 und det A = −1.

(d) Allgemein gilt det A = ad − bc und

A^{−1} = \frac{1}{det A} (\begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix}) , sowie A^{t} = (\begin{matrix}a & c \\ b & d \end{matrix}) .

DaA ∈ O(2), muss gelten A^{t} = A^{−1}.

Fall 1: det A = 1. Wir haben also

\begin{matrix}(\begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix}) = (\begin{matrix}a & c \\ b & d \end{matrix}) , \\ also a = d, b = −c, und ad − bc = a^{2} + c^{2} = 1. \end{matrix}

Fall2: det A = −1. Es gilt

\begin{matrix}− (\begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix}) = (\begin{matrix}a & c \\ b & d \end{matrix}) , \\ also a = −d, b = c, und ad − bc = −a^{2} + b^{2} = −1. \end{matrix}

(e) Die Matrix A beschreibt eine Drehung um \frac{π}{6} im positiven Drehsinn (gegen den Uhrzeiger). Die Orientierung bleibt erhalten. Um dies zu sehen, berechnet man z.B.

A ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}√ & \overline{3} \\ 1 \end{matrix} ) , A ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}−1 \\ √ & \overline{3} \end{matrix} ) .

Den Drehwinkel erhält man z.B. aus arrccos (\frac{1}{2} \sqrt{3}) = \frac{π}{6} .

Die Matrix B beschreibt eine Spiegelung an der Diagonalen, da sie die beiden Koordinatenachsen vertauscht, d.h. die Orientierung wird nicht erhalten.

B ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) , B ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) .

Die Matrix C beschreibt ebenfalls eine Spiegelung. Genauer entspricht C einer Spiegelung an der Geraden, die mit der x-Achse einen Winkel von \frac{π}{4} − \frac{π}{6} = \frac{π}{12} einschließt. Um dies zu sehen, kann man ähnlich vorgehen wie oben und die Bilder der Einheitsvektoren berechnen, diese sind \frac{1}{2}(1, \sqrt{3})^{t} und \frac{1}{2}(\sqrt{3}, −1)^{t}, oder man erkennt C = BA.

(f) Orthogonale 2 × 2 Matrizen beschreiben Drehungen und Spiegelungen der Ebene. Gilt für A ∈ O(2), dass det A = +1, so ist die entsprechende Transformation orientierungserhaltend und beschreibt eine reine Drehung. Gilt hingegen det A = −1 so beschreibt A eine Spiegelung an einer Gerade durch den Ursprung.

Hausübungen

(H 7) Unitäre Gruppen, 10 Punkte

Wie in Aufgabe (H 4) bezeichnen wir mit U(n) die Gruppe der unitären n × n Matrizen.

(a) Sei A eine komplexe n × n Matrix. Weisen Sie nach, dass A ∈ U(n) gilt genau dann wenn die Spalten s_{1}, …, s_{n} von A eine Orthonormalbasis des ℂ^{n} bilden.

(b) Weisen Sie nach, dass eine komplexe n × n Matrix genau dann unitär ist, wenn ihre Zeilen ein Orthonormalsystem bilden.

Lösung:

(a) Nach Definition ist A ∈ M_{n}(ℂ) genau dann unitär, wenn A^{∗}A = E.

• Sei zunächst A ∈ U(n). Sind s_{1}, …, s_{n} die Spalten von A, so sind die Zeilen A^{∗} gegeben durch s̄_{1}^{t}, …, s̄_{n}^{t}. Da A^{∗}A = E, ist also s̄_{i}^{t}s_{j} genau der Eintrag von E an der Stelle i,j, also 1 genau für i = j und 0 sonst. Mit anderen Worten ⟨s_{i}, s_{j}⟩ = δ_{ij} mit dem Standardskalarprodukt auf ℂ^{n}. Also sind die Spalten ein Orthonormalsystem. Da A invertierbar ist (Inverses A^{∗}!), sind insbesondere die Spalten von A eine Basis des ℂ^{n}.

• Hat man umgekehrt eie Matrix A mit Spalten s_{1}, …, s_{n}, die eine ONB von ℂ^{n} sind, so folgt aus

⟨s_{i}, s_{j}⟩ = s_{i}^{∗}s_{j} = δ_{ij},

dass A^{∗}A = E, da A^{∗} die Zeilen s_{1}^{∗}, …, s_{n}^{∗} hat. Also ist A ∈ U(n).

(b) Es gilt A ∈ U(n) genau dann, wenn A^{∗}A = E. Dies ist äuivalent zu AA^{∗} = E. (Da A^{∗} = A^{−1} äquivalent zu (A^{∗})^{−1} = A ist.)

• Sei A eine unitäre Matrix mit Zeilen z_{1}, …, z_{n}, dann sind die Spalten von A^{∗} durch z̄_{1}^{t}, …, z̄_{n}^{t} gegeben. Da A^{∗} auch unitär ist, folgt aus der vorherigen Teilaufgabe sofort z̄_{1}^{t}, …, z̄_{n}^{t} sind eine ONB von V. Damit sind die Zeilenvektoren z_{1}, …, z_{n} ein Orthonormalsystem.

• Sind umgekehrt die Zeilen von A ein Orthonormalsystem, so sind die Spalten von A^{∗} eine ONB von ℂ^{n} also ist A^{∗} unitär und somit auch (A^{∗})^{−1} = A.

Bemerkung: Bei gilt es zu beachten, dass man es mit Zeilenvektoren zu tun hat. So ist etwa z_{i}z̄_{j}^{t} eine komplexe Zahl (und keine Matrix). Es gilt

z_{i}z̄_{j}^{t} = ⟨z_{i}^{∗}, z_{j}^{∗}⟩ ,

mit dem wie üblich für Spaltenvektoren definierten Standardskalarprodukt.

(H 8) Selbstadjungierte Endomorphismen, 10 Punkte

(a) Sei V ein 𝕂-Vektorraum (𝕂 = ℝ, ℂ) mit einem nicht ausgearteten Skalarprodukt ⟨ , ⟩ und f : V → V ein sebstadjungierter Endomorphismus. Zeigen Sie: Ist f nilpotent, so gilt bereits f = 0.

(b) Sei V ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum und A : V → V ein selbstadjungierter Endomorphismus. Aus Aufgabe (H 6) ist bekannt, dass es ein S gibt, so dass S^{−1}AS diagonal ist. Zeigen Sie: S kann unitär gewählt werden.

Lösung:

(a) Nach Voraussetzung gibt es eine kleinste natürliche Zahl m > 0, so dass f^{m} = 0. Für jedem Eigenvektor v von f gilt

0 = f^{m}v = λ^{m}v, folglich ist λ = 0.

Also hat f keine anderen Eigenwerte als die 0. Nach Voraussetzung ist f aber selbstadjungiert und somit diagonalisierbar. Also ist f die Nullabbildung. (Die darstellende Matrix ist ähnlich zur 0-Matrix.)

(b) Eine Matrix S, die A diagonlisiert, erhält man indem man eine Basis aus Eigenvektoren zu A bestimmt. Diese ergeben die Spaltenvektoren von S. Da die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten von A aufeinander senkrecht stehen, erhält man eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu A, indem eine ONB für jeden Eigenraum bestimmt (etwa mit Gram-Schmidt). Verwendet man diese Basis für die Spaltenvektoren von S, so ist S unitär, vgl. (H 7).

(H 9) 10 Punkte

Berechne die QR-Zerlegung bezüglich des Standardskalarprodukts von ℝ^{4} für die Matrix

B = (\begin{matrix}2 & 4 & 3 & 5 \\ −2 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & −2 \\ −2 & 1 & 2 & 0 \end{matrix}) .

Lösung:

Es ist u_{1} = b_{1}, v_{1} = \frac{1}{4}b_{1} = \frac{1}{2} (1, −1, 1, −1)^{t}. Weiter erhält man

u_{2} = b_{2} − \frac{1}{4} ⟨b_{2}, b_{1}⟩ v_{1} = (\begin{matrix}4 \\ 1 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) − \frac{3}{2} (\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix}) = \frac{1}{2} (\begin{matrix}5 \\ 5 \\ 5 \\ 5 \end{matrix}) .

Es gilt v_{2} = \frac{1}{2}(1, 1, 1, 1)^{t}. Weiter ist

u_{3} = b_{3} − \frac{1}{2}v_{1} − \frac{3}{2}v_{2} = (\begin{matrix}3 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) − \frac{1}{2} (\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix}) − \frac{3}{2} (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{1}{2} (\begin{matrix}2 \\ −2 \\ 2 \\ −2 \end{matrix}) .

Also ist v_{3} = \frac{1}{4}u_{3} = \frac{1}{2}(1, −1, −1, 1)^{t}. Schließlich erhält man ebenso

u_{4} = b_{4} − 1v_{1} − 2v_{2} − 3v_{3} = \frac{1}{2} (\begin{matrix}4 \\ 4 \\ −4 \\ −4 \end{matrix}) .

Schließlich ist v_{4} = \frac{1}{2}(1, 1, −1, −1). Also hat man schließlich die Zerlegung

B = (\begin{matrix}2 & 4 & 3 & 5 \\ −2 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & −2 \\ −2 & 1 & 2 & 0 \end{matrix}) = \frac{1}{2} (\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ −1 & 1 & −1 & 1 \\ 1 & 1 & −1 & −1 \\ −1 & 1 & 1 & −1 \end{matrix}) (\begin{matrix}4 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 5 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{matrix}) .