Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Erik Hofmann Frederik Strmberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2008 9.10.2007

Lineare Algebra II

2. Übung

Gruppenübungen

(G 7) Orthonormalisierung

Gegeben seien die Vektoren b_{1} = (1 1 1 1)^{T}, b_{2} = (1 0 1 0)^{T} und b_{3} = (2 1 1 2)^{T}.

(a) Konstruieren Sie eine Orthonormalbasis der linearen Hülle lin(b_{1}, b_{2}, b_{3}).

(b) Zeigen Sie, daß der Vektor v = (\frac{3}{2} \frac{1}{2} \frac{−5}{2} \frac{9}{2})^{T} in der lineare Hülle lin(b_{1}, b_{2}, b_{3}) liegt und stelle ihn als Linearkombination der in Teil a) konstruierten Basis dar.

(G 8) Komplementärräume

Es seien V ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum sowie U, W ≤ V Untervektorräume von V. Beweisen Sie die folgenden Gleichungen:

(a) (U + W)^{⊥} = U^{⊥} ∩ W^{⊥}  (b) (U ∩ W)^{⊥} = U^{⊥} + W^{⊥}  (c) V = U ⊕ U^{⊥}
(d) dimU^{⊥} = dimV − dimU

(G 9) Hyperebenen

Es sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit Skalarprodukt ⟨−, −⟩ : V ×V → ℝ und v ≠ 0 ein Vektor in V.

(a) Zeigen Sie, daß die Menge v^{⊥} eine Hyperebene (d.h. ein Untervektorraum der Kodimension 1) ist.

(b) Beschreiben Sie die Spiegelung σ_{v} an der Hyperebene v^{⊥} durch v und das Skalarprodukt. Geben sie die Abbildungsvorschrift an.

(G 10)

Führe das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren mit den Vektoren

b_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) , b_{2} = (\begin{matrix}1 \\ −2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , b_{3} = (\begin{matrix}−1 \\ 10 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})

aus.

Welches Problem tritt dabei auf und was ist dessen Ursache?

(G 11)

Komplexe quadratische komplexe Matrizen A, welche die Gleichung A^{∗}A = E erfüllen, heißen unitär.

(a) Ist U unitär, so ist auch U^{∗} unitär.

(b) Eine n × n-Matrix U ist genau dann unitär, wenn die Spalten von U eine ON-Basis von ℂ^{n} bilden.

(G 12) Wir betrachten den reellen Vektorraum Raum V aller Polynome vom Grad höchstens 2 auf dem Einheitsintervall. Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis bezüglich des Skalarproduktes

⟨p, q⟩ := ∫_{0}^{1} p(x)q(x) dx.

Hausübungen

(H 4) Die unitäre Gruppe, 10 Punkte Komplexe quadratische Matrizen A, welche die Gleichung A^{∗}A = E erfüllen, heißen unitär. Die Menge aller unitären n × n-matrizen wird mit U(n) bezeichnet.

(a) Beweisen Sie, daß U(n) eine Gruppe ist.

(b) Beweisen Sie, daß jede unitäre n × n-Matrix eine Isometrie ℂ^{n} → ℂ^{n} beschreibt (d.h. daß die lineare Abbildung Abstände von Vektoren erhält).

(c) Beweisen Sie, daß Eigenwerte unitäre Abbildungen Betrag 1 haben.

(H 5) 10 Punkte Konstruieren Sie eine Orthogonalbasis des ℂ^{3}, in der der Vektor (1−i, 1+i, 2i)^{T} vorkommt.

(H 6) 10 Punkte Es sei V ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum und A : V → V ein selbstadjungierter Endomorphismus.

(a) Beweisen Sie, daß A nur reelle Eigenwerte haben kann.

(b) Zeigen Sie, daß es einen Eigenvektor 0 ≠ v von A gibt und daß v^{⊥} ein A-invarianter Untervektorraum ist.

(c) Zeigen Sie, daß A diagonalisierbar ist.