Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2008 30. Juni 2008

Lineare Algebra II

13. Übung

Gruppenübungen

Im Folgenden bezeichnet 𝕂 einen Körper mit Charakteristik ≠ 2. V ist stets eine 𝕂-Vektorraum endlicher Dimension.

(G 50) Satz 9 für Hyperbolische Ebenen

Sei (V, q) eine hyperbolische Ebene über 𝕂. Weisen Sie nach, dass jede Isometrie s ∈ O(V, q) sich als Produkt von höchstens 2 Spiegelungen darstellen lässt. (Hinweis: Reduzieren Sie auf die beiden Fälle, die im Beweis von Satz 9 behandelt wurden.)

(G 51)

Es gilt folgender Satz: Eine Isometrie s ist genau dann als Produkt von weniger als n = dim V Spiegelungen darstellbar, wenn s einen Fixvektor 0 ≠ v ∈ V besitzt. Eine Richtung (⇐) dieser Äquivalenz wurde bereits in der Vorlesung (für v anisotrop) behandelt, nun soll auch die umgekehrte Richtung gezeigt werden.

(a) Seien H_{1}, …, H_{r}, 1 ≤ r ≤ n, Hyperebenen in V. Beweisen Sie:

dim (H_{1} ∩ ⋯ ∩ H_{r}) ≥ n − r.

(b) Weisen nun nach: Ist s = s_{1} ⋯ s_{r}, mit r < n, und Spiegelungen s_{i} an Hyperebenen H_{i} ⊂ V, so gibt es einen Vektor 0 ≠ v ∈ V mit sv = v.

(c) Vervollständigen Sie die Beweisrichtung (⇐) aus der Vorlesung, indem Sie zeigen: Gibt es zu s einen isotropen Vektor 0 ≠ v ∈ V mit sv = v, so existiert auch ein anisotroper Fixvektor für s. (Hinweis: Betrachten Sie eine hyperbolische Ebene, die v enthält.)

(G 52)

Sei (V, q) ein nicht ausgearteter quadratischer Raum über 𝕂, mit dim V = n.

(a) Zeigen Sie: Ist n ungerade, so besitzt jedes s ∈ SO(V, q) einen Fixvektor ungleich 0.

(b) Wie lautet die analoge Aussage für gerades n?

(G 53)

Sei (V, q) ein nicht ausgearteter quadratischer Raum über 𝕂. Geben sie (mit Nachweis) eine Isometrie s : V → V an, die sich nicht als Produkt von weniger als n = dim V Spiegelungen darstellen lässt.

(G 54) Drehungen in der Ebene Sei nun (V, q) ein nicht ausgearteter quadratischer Raum der Dimension 2. Zeigen Sie: Für eine Isometrie s : V → V, s ≠ id_{V} sind folgende Aussagen äquivalent

1. s ∈ SO(V, q).

2. s ist Produkt von genau zwei Spiegelungen,

3. 0 ist der einzige Fixvektor von s.

(G 55) Sei (V, q) eine nicht ausgearteter quadratischer Raum über 𝕂. Beweisen Sie folgenden Satz: Ist s eine Isometrie, für welche die Menge {x ∈ V; sx = x} eine Hyperebene H ⊂ V ist, dann ist H nicht ausgeartet (und somit s = s_{H}). Anleitung: Nehmen Sie an, H ist ausgeartet.

(a) Zeigen Sie: H ∩ H^{⊥} = H^{⊥}.

(b) Betrachten Sie die orthogonale Zerlegung H = H^{⊥} ⊥ W, mit W nicht ausgeartet. Zeigen Sie dann: W^{⊥} ist eine hyperbolische Ebene.

(c) Leiten Sie nun den Widerspruch s = id_{V} her.

Hausübungen

(H 1) Wiederholen Sie den Stoff der Linearen Algebra und bearbeiten Sie alle Aufgaben, die Sie bisher ausgelassen haben.