Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Erik Hofmann Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2008

Lineare Algebra II

12. Übung mit Lösungshinweisen

Gruppenübungen

(G 45)

Die quadratische Form q auf dem n-dimensionalen rellen Vektorraum V sei bezüglich der Bais B = (v_{1}, …, v_{n}) durch die Diagonalmatrix D = diag(a_{1}, …, a_{n}) gegeben. Gibt es eine Basis C = (w_{1}, …, w_{n}) von V bezüglich welcher die quadratische Form durch eine Diagonalmatrix D′ = (b_{1}, …, b_{n}) mit b_{i} ∈ {−1, 0, 1} gegeben ist? Wenn ja, wie lautet die Transformationsmatrix S = M_{C}^{B}(id_{V}) von der alten in die neue Basis?

Lösung:

Man setze a′_{i} = \sqrt{|a_{i}|} für a_{i} ≠ 0, a′_{i} = 1 falls a_{i} = 0 und nehme die Vektoren a′_{1}v_{1}, …, a_{n}v′_{n} als neue Basis. Die Transformationsmatrix lautet somit S = diag(\frac{1}{a′_{1}} , …, \frac{1}{a′_{n}}) und es gilt S^{T} AS = D′, wobei D′ die geforderten Eigenschaften hat.

(G 46) Symmetrischer Gaußalgorithmus

Führen Sie den symmetrischen Gaußalgorithmus für die symmetrische Matrizen

A = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{matrix})

durch, indem sie gleich nach einer Zeilenoperation die zugehörige Spaltenoperation ausführen - bis Sie eine Diagonalmatrix erhalten. Welche Form hat die neu erhaltene Matrix nach Ausführen der Spalten und Zeilenoperationen?

Lösung:

ZU A:

(\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}) ⟶^{2.Spalte−2∗1.Spalte} (\begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & −3 \end{matrix}) ⟶^{2.Zeile−2∗1.Zeile} (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −3 \end{matrix})

ZU B:

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{matrix}) ⟶^{2.Spalte−2∗1.Spalte} (\begin{matrix}1 & 0 & 3 \\ 2 & −1 & 4 \\ 3 & −2 & 5 \end{matrix}) ⟶^{3.Spalte−3∗1.Spalte} (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 2 & −1 & −2 \\ 3 & −2 & −4 \end{matrix})

⟶^{2.Zeile−2∗1.Zeile} (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & −2 \\ 3 & −2 & −4 \end{matrix}) ⟶^{3.Zeile−3∗1.Zeile} (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & −2 \\ 0 & −2 & −4 \end{matrix})

⟶^{3.Spalte−2∗2.Spalte} (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & −2 & 0 \end{matrix}) ⟶^{3.Zeile−2∗2.Zeile} (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Die neu erhaltenen Matrizen sind wieder symmetrisch. (G 47)

(a) Geben Sie die Transformationsmatrizen für jeden Schritt in Aufgabe G 46 an.

(b) Geben Sie Transformationsmatrix an, mit denen Sie in der 1. Spalte unter der Diagonalen Nullen erzeugen. Geben Sie Transformationsmatrix an, mit denen Sie in der 2. Spalte unter der Diagonalen Nullen erzeugen.

(c) Geben Sie die Gesamttransformationsmatrizen an.

Lösung:

(a) Zu A:

2. Spalte - 2 * 1. Spalte : S = (\begin{matrix}1 & −2 \\ 0 & 1 \end{matrix})
2. Zeile - 2 * 1. Zeile : (\begin{matrix}1 & 0 \\ −2 & 1 \end{matrix}) = S^{T}

Es folgt S^{T} AS = diag(1, −3). Zu B:

2. Spalte - 2 * 1. Spalte : S_{1,2} = (\begin{matrix}1 & −2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})
3. Spalte - 3 * 1. Spalte : S_{1,3} = (\begin{matrix}1 & 0 & −3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})
2. Zeile - 2 * 1. Zeile : (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = S_{1,2}^{T}
3. Zeile - 3 * 1. Zeile : (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ −3 & 0 & 1 \end{matrix}) = S_{1,3}^{T}
3. Spalte - 2 * 2. Spalte : S_{2,3} = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})
3. Zeile - 2 * 2. Zeile : (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & −2 & 1 \end{matrix}) = S_{2,3}^{T}

(b) Für A ist S_{1} die gesuchte Matrix. Für B ergeben sich die gesuchten Matrizen wie folgt:

S_{1} := S_{1,2}S_{1,3} = (\begin{matrix}1 & −2 & −3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) , S_{2} = S_{2,3} = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

(c) Die Gesamttransformationsmatrizen sind S für A und S_{1}S_{2}S_{3} = (\begin{matrix}1 & −2 & 1 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) für

B.

(G 48)

Es sei A eine symmetrische relle Matrix mit Eintraägen a_{ij} und q die assoziierte quadratische Form auf ℝ^{n}.

(a) Geben Sie den Wert q(λe⃗_{i} + μe⃗_{j}) mit Hilfe der a_{ij} an.

(b) Es gelte a_{11} = 0 und a_{1j} ≠ 0 für ein j. Beweisen Sie, daß es einen Vektor v⃗ ∈ ℝ^{n} mit den Eigenschaften v_{1} = 1 und q(v⃗) ≠ 0 gibt.

(c) Beweisen Sie, daß Sie im Falle a_{11} = 0 und a_{1j} ≠ 0 eine Matrix S finden, so daß der Eintrag a′_{11} von A′ = S^{T} AS nicht verschwindet.

Lösung:

(a) Es gilt q(λe⃗_{i} + μe⃗_{j}) = λ^{2}a_{11} + λμa_{1j} + λμa_{j1} + μ^{2}a_{22} = λ^{2}a_{11} + 2λμa_{1j} + μ^{2}a_{22}.

(b) Gilt a_{jj} = 0, so kann man v = e⃗_{1} + e⃗_{j} wählen. Im Falle a_{jj} ≠ 0 muß die quadratische Gleichung μ^{2}a_{jj} + 2μa_{1j} + 1 ≠ 0 erfüllt sein. Dies ist für große μ immer der Fall. Somit gibt es einen Vektor v⃗ ∈ ℝ^{n} mit den Eigenschaften v_{1} = 1 und q(v⃗) ≠ 0.

(c) Man wähle S = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ v_{2} & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ v_{3} & 0 & 1 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & & & ... & ⋮ \\ v_{n} & 0 & 0 & ⋯ & 1 \end{matrix})

(G 49)

Man Beweise, daß es zu jeder reellen symmetrischen Matrix A eine Matrix S gibt, so daß S^{T} AS eine Diagonalmatrix ist.

Lösung:

Dies kann man mit dem symmetrischen Gaußalgorithmus immer erreichen. Tritt dabei einmal ein Fall wie in Aufgabe G 48 b) auf, so kann man dies analog zu der dort angegeben Matrix beheben.