Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Erik Hofmann Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2008 6.10.2007

Lineare Algebra II

11. Übung

Gruppenübungen

(G 41) Diagonalisierbarkeit

Mit einer symmetrischen Matrix A ∈ ℝ^{3×3} ist die quadratische Form Q_{A} : ℝ^{3} → ℝ mit der Zuordnungsvorschrift

Q_{A}(x) = 7x_{1}^{2} + 6x_{2}^{2} + 5x_{3}^{2} − 4x_{1}x_{2} − 4x_{2}x_{3}

assoziiert.

(a) Geben Sie die Matrix A an und entscheiden Sie, ob A positiv oder negativ definit ist.

(b) Begründen Sie, warum die Matrix A diagonalähnlich ist und geben Sie eine geeignete invertierbare Transformationsmatrix S ∈ ℝ^{3×3} mit S^{−1} ·A·S = D an, wobei D ∈ ℝ^{3×3} eine Diagonalmatrix bildet.

(G 42) Quadratische Formen

Gegeben sei die quadratische Form q(x, y, z) = x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} − 4xy − 4yz auf ℝ^{3}.

(a) Geben Sie eine symmetrische Matrix A ∈ ℝ^{(3,3)} an, so daß q(x, y, z) = (x, y, z)A(x, y, z)^{T} gilt.

(b) Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix S derart, daß S^{⊤}AS eine Diagonalmatrix ist.

(c) Bestimmen Sie q̃: ℝ^{3} → ℝ mit q̃(x̃, ỹ, z̃) = (x̃, ỹ, z̃)D(x̃, ỹ, z̃)^{T}, wobei D die Diagonalmatrix aus Aufgabenteil b) ist. (q̃ ist die Hauptachsenform der quadratischen Form q, wobei (x̃, ỹ, z̃) = (x, y, z)S mit S aus Aufgabenteil b) gilt.)

Definition (Wiederholung): Eine Teilmenge Q ⊂ V eines 𝕂-Vektorraumes V heißt Quadrik, falls sie die Lösungsmenge einer Gleichung

q(v) + f(v) + c = 0

mit einer quadratischen Form q einer Linearform f und einem Skalar c ∈ 𝕂 ist.

(G 43) Wiederholung

Wir betrachten die Funktion h : ℝ^{2} → ℝ, h(x, y) = x^{2}−y^{2}. Ist h eine Quadrik eine Bilinearform oder eine quadratische Form? Skizzieren Sie die Kennlinie Q = {(x, y) | h(x, y) = 1}. Ist Q eine Quadrik?

(G 44) Wiederholung Es sei

A = (\begin{matrix}2 & −1 \\ −1 & 2 \end{matrix}), b = (\begin{matrix}2\sqrt{2} \\ −2\sqrt{2} \end{matrix}) und c = \frac{1}{3}.

Von welchem Kurventyp ist die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung

x^{T} Ax + b^{T} x + c = 0?

Skizzieren Sie die Lösungsmenge im ursprünglichen Koordinatensystem.

Hausübungen

(H 24) Wir betrachten in ℝ^{2} die Menge Q der quadratischen Kurven, welche durch eine Gleichung der Gestalt

ax^{2} + bxy + cy^{2} = 1 a, b, c ∈ ℝ.

gegeben sind. Zwei solche Kurven heißen äquivalent, wenn es einen Isomorphismus ϕ : ℝ^{2} → ℝ^{2} gibt, welche die eine Kurve in die andere überführt. Zeigen Sie, daß dies eine Äquivalenzrelation auf Q ist, und bestimmen Sie die Äquivalenzklassen.

(H 25) Für die Quadrik Q gelte

Q = {x ∈ ℝ^{3} | λ_{1}x_{1}^{2} + λ_{2}x_{2}^{2} + λ_{3}x_{3}^{2} = 1}.

Welche geometrischen Objekte treten auf, wenn mindestens eins der λ_{i} gleich Null ist?

(H 26) Quadriken Für die Quadrik Q gelte

Q = {x ∈ ℝ^{n} | λ_{1}x_{1}^{2} + … + λ_{n}x_{n}^{2} = 0},

Welche geometrischen Objekte treten für n = 2 und n = 3 auf, wenn alle λ_{i} ungleich Null sind?