Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Eric Hofmann Fredrik Strömberg Sommersemester 2008

June 9, 2008

Lineare Algebra II

10. Übung

Gruppenübungen

(G 41)

Seien 𝕂 ein Körper mit Char(𝕂) ≠ 2 und V ein 2n-dimensionaler Vektorraum über 𝕂. Sei β : V × V → 𝕂 eine symplektische Bilinearform, ω ≡ 0. Zeigen Sie, daß die Strukturmatrix für β in ein geeignete Basis von V die Form

B = ( \begin{matrix}0 & E \\ −E & 0 \end{matrix} )

hat, wobei E die n × n Identitätsmatrix ist.

(G 42) Symplektische Gruppen

Wenn V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über dem Körper 𝕂 (Char(𝕂) ≠ 2) ist und ω ein Symplektischen Bilinearform ist, sagt man daß das Paar (V,ω) ein Symplektischesvektorraum über 𝕂 ist.

Eine lineare Abbildung L: V → W zwischen zwei Symplektischer Vektorräumen über 𝕂, (V,β)und ( W,β̃)heißt symplektisch falls

β̃(Lv,Lw)= β (v,w), ∀v,w ∈ V.

Wenn L auch ein Isomorphismus ist heißt er Symplektomorphismus. Die symplektische Gruppe von V ist

Sp(V)= {L: V → V |L ist Symplektomorphismus}.

Insbesondere, wenn V = 𝕂^{n} schreibt man auch Sp_{n}(𝕂).

(a) Zeigen Sie, daß eine symplektische Abbildung injektiv ist.

(b) Zeigen Sie, daß Sp(V)ein Gruppe ist.

(c) Zeigen Sie, daß wenn β die Strukturmatrix J bzgl. einer gegebene Basis von V und L die Koordinatenmatrix A bzgl. die gleichen Basis hat, dann gilt det(A)= 1 und

A^{t}JA = J

Man sagt dann daß die Matrix A eine symplektische Matrix ist.

(d) Zeigen Sie, daß die folgende Matrizen Mitglieder von Sp_{n}(𝕂) sind:

J, ( \begin{matrix}B & 0 \\ 0 & (B^{t})^{−1} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}E & S \\ 0 & E \end{matrix} )

wobei B,S ∈ M_{n}(𝕂) mit B invertierbar und S symmetrisch. (Die obigen Beispiele auch ein Erzeugende System von Sp_{n}(𝕂) sind aber das ist hier nicht zu beweisen.)

(e) Zeigen Sie, wenn A ein Symplektische matrix in Sp_{n}(ℝ) ist, mit Eigenwert a ∈ ℂ dann sind \overline{a}, \frac{1}{a} und \frac{1}{\overline{a}} auch Eigenwerte von A.

(f) Sei (𝕂^{2n},β) ein Symplektischer Raum und Sei J = ( \begin{matrix}0 & E \\ −E & 0 \end{matrix} ) die Koordinaten-

matrix für β. Zeigen Sie, daß ⟨v,w⟩= β (Jv,w)ein Skalarprodukt auf 𝕂^{2n} ist.

Hausübungen

(H 24)

Seien 𝕂 ein Körper (mit Char.≠ 2) und V ein n-dimensionaler Vektorraum über 𝕂. Sei β : V × V → 𝕂 eine Bilinearform mit Strukturmatrix B in bezug auf ein gegebene Basis v_{1},...,v_{n} von V. Zeigen Sie:

(a) dimV^{⊥} = n − RangB = dim^{⊥} V.

(b) RangB = m genau wenn β in der Gestalt

β (x,y)= f_{1}(x)g_{1}(y)+ ··· + f_{m}(x)g_{m}(x)

mit Linearformen f_{1},...,f_{m},g_{1},...,g_{m}auf V, für die Rang(f_{1},...,f_{m}) = Rang(g_{1},...,g_{m})= m darstellbar ist.

(H 25)

Seien 𝕂 ein Körper mit Char(𝕂) ≠ 2 und V ein n-dimensionaler Vektorraum über 𝕂. Sei β : V × V → 𝕂 ein nicht ausgeartete Bilinearform auf V. Zeigen Sie, daß β genau dann schiefsymmetrisch ist (d.h. β (x,y)= −β (y,x)∀x,y ∈ V ) wenn es symplektisch ist (d.h. β (x,x)= 0 ∀x ∈ V ).