Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Erik Hofmann Frederik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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SS 2008 9.10.2007

Lineare Algebra II

1. Übung

Gruppenübungen

(G 1) Summen von Untervektorräumen

Es sei V ein Vektorraum über dem Körper 𝕂 (z.B: 𝕂 = ℂ, ℝ) mit Untervektorräumen W_{i} ⊂ V, i ∈ I (I ≠ ∅). Die Summe der Untervektorräume W_{i} ist die Menge

Σ_{i∈I}W_{i} := {∑_{k=1}^{n} w_{k} | w_{k} ∈ ⋃ W_{i} ∧ n ∈ ℕ}

aller endlichen Summen von Vektoren aus den Untervektorräumen W_{i}. Beweisen Sie, daß ∑ W_{i} auch wieder ein Untervektorraum von V ist.

(G 2) Erzeugte Untervektorräume

Es sei V ein Vektorraum ber dem Körper 𝕂 (z.B: 𝕂 = ℂ, ℝ) und M ⊂ V eine Teilmenge von V. Die Menge S = {W ≤ V | M ⊂ W } aller Untervektorräume, welche M enthalten, ist durch die Inklusion ≤ (”ist Unervektorraum von”) geordnet.

(a) Zeigen Sie, daß jede Teilmenge in S ein Infimum hat, d.h. daß es zu jeder Teilmenge {W_{i}}_{i∈I} ⊂ S einen größten Vektorraum W gibt, der kleiner als alle W_{i} ist.

(b) Beweisen sie, daß es einen kleinsten Untervektorraum W ≤ V gibt, welcher die Menge M enthalt. Dieser Untervekrorraum wird der von M erzeugte Untervektorraum genannt und auch mit ⟨M⟩ bezeichnet.

(c) Es seien W_{i}, i ∈ I Untervektorräume von V. Zeigen Sie ⟨⋃ W_{i}⟩ = ∑ W_{i}.

(d) Nach Teilaufgabe c) kann man die Summe von Untervektorräumen auch durch ∑ W_{i} := ⟨⋃ W_{i}⟩ definieren. Hierbei kann man die Voraussetzung I ≠ ∅ weglassen. Was ist der von der leeren Menge ∅ erzeugte Untervektorraum ⟨∅⟩ ≤ V ?

(G 3) Direkte Summen

Es sei V ein Vektorraum über dem Körper 𝕂 (z.B: 𝕂 = ℂ, ℝ) mit Untervektorräumen W_{i} ⊂ V, i ∈ I. Die Summe der Untervektorräume W_{i} heißt direkt, geschrieben ⨁ W_{i}, falls für alle n ≥ 1 die Gleichung 0 = ∑_{k=1}^{n} w_{k} mit w_{k} ∈ W_{i_{k}} und W_{i_{k}} ∩ W_{i_{l}} = 0 für k ≠ l nur die triviale Lösung w_{1}, …, w_{n} = 0 besitzt. Wir nehmen an, daß die Summe ⨁_{i∈I} W_{i} direkt ist.

(a) Zeigen Sie, daß sich jeder Vektor w ∈ ⨁ W_{i} einer direkten Summe eindeutig als Summe von Vektoren aus verschiedenen Untervektorräumen W_{i} schreiben läßt.

(b) Beweisen Sie, daß sich für disjunkte Teilmengen J, J′ ⊂ I die direkten Summen ⨁_{j∈J} W_{j} und ⨁_{j′∈J′} W_{j′} trivial schneiden.

(G 4) Summen und direkte Summen

Wir betrachten den reellen Vektorraum ℝ^{4} und in diesem den linearen Teilraum U, der durch die Gleichungen

x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0 und
x_{1} + x_{2} − x_{3} − x_{4} = 0

für (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})^{T} ∈ ℝ^{4} definiert wird. Weiter sei W der lineare Teilraum von ℝ^{4}, der von den Vektoren

( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) und ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) .

aufgespannt wird.

(a) Bestimmen Sie eine Basis für den linearen Teilraum U ∩ W.

(b) Bestimmen Sie eine Basis für den linearen Teilraum U + W.

(c) Ist U + W die direkte Summe von U und W?

(G 5) Direkte Summen/Eigenräume

Es sei A : V → V ein Endomorphismus des 𝕂-Vektorraumes V.

(a) Beweisen Sie, daß die Summe ΣV_{λ}(A) der Eigenräume V_{λ}(A) := ker(λ · id_{V} − A) zu den verschiedenen Eigenwerten λ direkt ist.

(b) Zeigen Sie, daß V = ⨁ V_{λ}(A) gilt, falls die Abbildung A diagonalisierbar ist.

(G 6) Skalarprodukte

Es sei V ein 𝕂-Vektorraum mit Skalarprodukt ⟨·, ·⟩ : V × V → 𝕂. Beweisen Sie, daß für jeden Untervektoraum W ≤ V die Gleichung W^{⊥⊥} = W erfüllt ist.

Hausübungen

(H 1) 10 Punkte

Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper 𝕂 (𝕂 = ℝ oder ℂ) und ⟨·, ·⟩ ein Skalarprodukt auf V. Zeigen Sie daß aus ⟨u, u⟩ = 0 für alle u ∈ V schon ⟨u, v⟩ = 0 für alle u, v ∈ V folgt.

(H 2) 10 Punkte

Es sei V ein ℂ-Vektorraum mit positiv definiter hermitescher Form ⟨·, ·⟩ : V × V → ℂ. Weiterhin sei A : V → V eine ℂ-lineare Abbildung mit adjungierter Abbildung A^{∗} (,d.h. es gilt ⟨A(v), w⟩ = ⟨v, A^{∗}(w)⟩ für alle v, w ∈ V). Beweisen Sie Ker A = (Im A^{∗})^{⊥} und Im A = (Ker A^{∗})^{⊥}.

(H 3) 10 Punkte

Es sei V ⊂ ℝ^{3} der von den Vektoren A = (1, 1, 1), B = (1, −1, 2) erzeugte Unterraum. Finden Sie ein ON-Basis für V bezüglich der Bilinearform

< x⃗, y⃗ >= x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} − x_{3}y_{3}.