Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Kay Schwieger

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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WS 2007/2008 9.10.2007

Lineare Algebra I

6. Tutorium

(T 1) Matrizen invertieren

Invertieren Sie mit Hilfe des Gauß-Verfahrens die beiden Matrizen

A = ( \begin{matrix}21 & 22 \\ 23 & 24 \end{matrix} ) und B = ( \begin{matrix}1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} ) .

(T 2) Darstellungmatrix

Im reellen Vektorraum ℝ^{2} betrachten wir die Standardbasis 𝕂_{2}, die Basis B := {(1, 1)^{T} , (1, −1)^{T} } sowie den Endomorphismus ϕ : x⃗ ↦ Ax⃗, der durch die Matrix

A = (\begin{matrix}1 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix})

gegeben ist.

(a) Bestimmen Sie die Darstellungmatrix M_{B}^{B}(ϕ).

(b) Stellen Sie den Vektor v = (3, −1)^{T} und sein Bild ϕ(v) als Linearkombination der Basisvektoren in B dar.

(T 3) Spiegelungen

Es bezeichne σ die Orthogonalspiegelung im ℝ^{2} an der Geraden ℝ ( \begin{matrix}−2 \\ 1 \end{matrix} ). Bestimme die

Matrix von σ zuerst bezüglich einer ”geeigneten“ Basis und dann bezüglich der kanonischen Basis.

(T 4) Projektionen

Wir betrachten im ℝ^{3} die Parallelprojektion π in Richtung des Vektors ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) auf die

durch die Gleichung x − y + z = 0 bestimmte Ebene. Bestimme die Matrix von π zuerst bezüglich einer ”geeigneten“ Basis und dann bezüglich der kanonischen Basis.

(T 5) Drehungen

Im ℝ^{3} gibt es genau zwei Drehungen mit Drehachse ℝ ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) und Drehwinkel 120^{∘}. Es

bezeichne δ diejenige der beiden Drehungen, bei der sämliche Vektoren, wenn man in Rich-

tung des Vektors ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) sieht, im Uhrzeigersinn gedreht werden. Bestimme die Matrix von

δ zuerst bezüglich einer ”geeigneten“ Basis und dann bezüglich der kanonischen Basis.

(T 6) Gleichungssysteme Wir betrachten die Matrix

A = ( \begin{matrix}1 & −2 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ −1 & 1 & −3 \end{matrix} ) und b = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) .

(a) Berechnen Sie, falls möglich, die Inverse Matrix zu A.

(b) Bestimmen Sie die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b mit Hilfe des Gauß-Algorithmus. Wie geht es einfacher?