Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Kay Schwieger

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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WS 2007/2008 9.10.2007

Lineare Algebra I

6. Tutorium

(T 1) Restklassenringe

Es sei n ≥ 2 eine natürliche Zahl und φ : ℤ → ℤ_{n} die durch φ(z) = [z] gegebene Abbildung.

(a) Ist φ ein Gruppenhomomorphismus ?

(b) Bestimmen Sie die Menge φ^{−1}([0]) ⊆ ℤ. Ist φ^{−1}([0]) ⊆ ℤ eine Untergruppe von ℤ?

(T 2) Kern und Bild

Es seien (G, ·, {1}) und (H, ·, {1}) Gruppen sowie φ : G → H eine Gruppenhomomorphismus. Wir definieren durch Ker φ := {g ∈ G | φ(g) = 1} den Kern von φ und durch Im φ := φ(G) ⊆ H das Bild von φ.

(a) Ist die Menge Ker φ immer eine Untergruppe von G?

(b) Ist die Menge Im φ immer eine Untergruppe von H?

(T 3) Endliche Vektorräume

Wieveile Elemente hat der Vektorraum ℤ_{3}^{n} über dem Körper ℤ_{3}?

(T 4) Gaußalgorithmus

Bestimme über dem Körper ℤ_{5} die Lösungsmenge des lineares Gleichungssystems Ax = b, welches durch die Matrix

A := ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{matrix} ) und den Vektor b := ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} ) .

gegeben ist.

(T 5) Unterkörper

Es sei 𝕂 ein Körper. Eine Teilmenge 𝔽 von 𝕂, welche 0 und 1 enthält, heißt Unterkörper, wenn 𝔽 mit der Addition und der Multiplikation von 𝕂 ein Köper ist. Dies bedeutet insbesondere, daß alle Produkte und Inversen von Elementen aus 𝔽 auch in 𝔽 liegen!

(a) Geben Sie nichtriviale Beispiele für Unterkörper.

(b) Definieren Sie eine Addition 𝕂 × 𝕂 → 𝕂 und eine Skalarmultiplikation 𝔽 × 𝕂 → 𝕂, welche 𝕂 zu einem Vektorraum über dem Körper 𝔽 macht. Geben Sie auch hier nichtriviale Beispiele an.

(T 6) Dimension

Welche Dimension hat der Vektorraums ℂ über dem Körper ℝ? Geben Sie eine Basis an!

(T 7) Die Ableitung Es sei die ϕ : ℝ[x] →↦ ℝ[x], p ↦ p′ die Ableitungsabbildung, welche jedem Polynom p seine Ableitung p′ zuordnet.

(a) Ist ϕ linear?

(b) Bestimmen Sie den Kern von ϕ.

(c) Bestimmen Sie das Bild von ϕ.

(d) Ist ϕ injektiv? Ist ϕ surjektiv?