Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Kay Schwieger

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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WS 2007/2008 9.10.2007

Lineare Algebra I

6. Tutorium mit Lösungshinweisen

(T 1) Restklassenringe

Es sei n ≥ 2 eine natürliche Zahl und φ : ℤ → ℤ_{n} die durch φ(z) = [z] gegebene Abbildung.

(a) Ist φ ein Gruppenhomomorphismus ?

(b) Bestimmen Sie die Menge φ^{−1}([0]) ⊆ ℤ. Ist φ^{−1}([0]) ⊆ ℤ eine Untergruppe von ℤ?

Lösung:

(a) Die Abbildung φ bildet das neutrale Element 0 ∈ ℤ auf das neutrale Element [0] ∈ ℤ_{n} ab. Weiterhin vertauscht sie mit den Multiplikationenen, denn es gilt φ(a·b) = [a·b] = [a] · [b] = φ(a) · φ(b) für alle a, b ∈ ℤ. (Dies ist aus der letzten Übung bekannt.) Somit ist φ ein Gruppenhomomorphismus.

(b) Es gilt

φ^{−1}([0]) = {z ∈ ℤ | φ(z) = [0]}
= {z ∈ ℤ | [z] = [0]}
= {z ∈ ℤ | z ≡ 0 (mod n)}
= n · ℤ.

Aus der vorletzen Übung ist bekannt, daß dies eine Untergruppe von ℤ ist.

(T 2) Kern und Bild

Es seien (G, ·, {1}) und (H, ·, {1}) Gruppen sowie φ : G → H eine Gruppenhomomorphismus. Wir definieren durch Ker φ := {g ∈ 𝔾 | φ(g) = 1} den Kern von φ und durch Im φ := φ(G) ⊆ H das Bild von φ.

(a) Ist die Menge Ker φ immer eine Untergruppe von G?

(b) Ist die Menge Im φ immer eine Untergruppe von H?

Lösung:

(a) Die Menge enthält Ker φ nach Definition immer das neutrale Element 1. Weiterhin gilt für alle a ∈ Ker φ auch φ(a^{−1}) = φ(a)^{−1} = 1^{−1} = 1. Somit enthält Ker φ zu jedem element auch sein Inverses. Darüberhinaus gilt φ(a · b) = φ(a) · φ(b) = 1 · 1 = 1 für alle a, b ∈ Ker φ. Somit ist Ker φ eine Untergruppe von G.

(b) Das Bild Im φ enthält das neutrale Element, da φ(1) = 1 ∈ φ(G) gilt. Liegt a ∈ φ(G) im Bild Im φ, so gibt es ein Element g ∈ G, so daß φ(g) = a gilt. Daraus folgt a^{−1} = φ(g)^{−1} = φ(g^{−1}) ∈ φ(G), d.h. das Inverse a^{−1} zu a liegt auch im Bild. Für je zwei Elementen a, b ∈ φ(G) gibt es Elemente, g_{1}, g_{2} ∈ G, so daß φ(g_{1}) = a und φ(g_{2}) = b gilt. Hieraus folgt a · b = φ(g_{1}) · φ(g_{1}) = φ(g_{1} · g_{2}) ∈ φ(G). Somit ist φ(G) eine Untergruppe von H.

(T 3) Endliche Vektorräume Wieveile Elemente hat der Vektorraum ℤ_{3}^{n} über dem Körper ℤ_{3}?

Lösung:

Der Vektorraum ℤ_{3}^{n} hat |ℤ_{3}|^{n} = 3^{n} Elemente. (T 4) Gaußalgorithmus Bestimme über dem Körper ℤ_{5} die Lösungsmenge des lineares Gleichungssystems Ax = b, welches durch die Matrix

A := ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{matrix} ) und den Vektor b := ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} ) .

gegeben ist.

Lösung:

Wir führen die Gauß-Jordan-Elimination in ℤ_{5} durch und erhalten

2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 3 1 1 1 2 4 2 1 1 1 1 0 4 3 3 4 0 3 4 3 0 0 3 3 4 1 2 1 1 1 1 0 4 3 3 4 0 0 3 2 2 0 0 2 3 3 2 1 1 1 1 0 4 3 3 4 0 0 3 2 2 0 0 0 0 0  \begin{matrix}·_{5} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 2 & 4 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 3 & 1 & 4 & 2 \\ 4 & 0 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{matrix}

Wir können also die Nicht-Pivotvariable x_{4} frei wählen. Wir setzen x_{4} := n ∈ ℤ_{5}. Durch Rückauflösen erhalten wir

x_{3} = n + 4, x_{2} = n + 3 and x_{1} = n + 2.

Daraus ergibt sich die Lösungsmenge

( \begin{matrix}2 \\ 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix} ) + ℤ_{5} ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) = \{( \begin{matrix}2 \\ 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix} ) + n ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) | n ∈ ℤ_{5}\} ,

welche ein affiner Unterraum von (ℤ_{5})^{4} ist.

(T 5) Unterkörper

Es sei 𝕂 ein Körper. Eine Teilmenge 𝔽 von 𝕂, welche 0 und 1 enthält, heißt Unterkörper, wenn 𝔽 mit der Addition und der Multiplikation von 𝕂 ein Köper ist. Dies bedeutet insbesondere, daß alle Produkte und Inversen von Elementen aus 𝔽 auch in 𝔽 liegen!

(a) Geben Sie nichtriviale Beispiele für Unterkörper.

(b) Definieren Sie eine Addition 𝕂 × 𝕂 → 𝕂 und eine Skalarmultiplikation 𝔽 × 𝕂 → 𝕂, welche 𝕂 zu einem Vektorraum über dem Körper 𝔽 macht. Geben Sie auch hier nichtriviale Beispiele an.

Lösung:

(a) Als konkrete Beispiele nehmen wir ℂ als Vectorraum über ℝ oder ℚ und ℝ als Vektorraum über ℚ.

(b) Als Vektorraum-Addition auf 𝕂 nehmen wir die Körper-Addition, mit der 𝕂 bereits ausgestattet ist. Als skalare Multiplikation 𝔽 × 𝕂 → 𝕂 nehmen wir die Multiplikation 𝕂×𝕂 → 𝕂 des Körpers 𝕂. Wir verifizieren nun die Vektorraumaxiome (V1) bis (V8).

(V1-V4) Diese Axiome sind erfüllt, da der Körper 𝕂 eine kommutative Gruppe bezüglich der Addition ist. Als Nullvektor dient die Null des Körpers.

(V5) Für alle v ∈ 𝕂 und λ, μ ∈ 𝔽 gilt λ(μv) = (λμ)v, da das Assiziativgesetz in 𝕂 gilt.

(V6) Für alle v ∈ 𝕂 gilt 1v = v, da 1 das neutrale Element der Multiplikation in 𝕂 ist.

(V7-V8) Diese Axiome sind erfüllt, da das Distributivgesetz und die Kommutativität im Körper 𝕂 gelten.

Beispiele sind z.B. die Beispiele aus a).

(T 6)

Welche Dimension hat der Vektorraums ℂ über dem Körper ℝ? Geben Sie eine Basis an!

Lösung:

Per Definition ist eine komplexe Zahl ein Element aus ℝ × ℝ mit folgender Addition und Multiplikation:

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) +_{ℂ} ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x_{1} + y_{2} \\ x_{2} + y_{2} \end{matrix} ) and ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) ·_{ℂ} ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x_{1}y_{1} − x_{2}y_{2} \\ x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1} \end{matrix} ) .

In ℂ finden wir ℝ wieder, und zwar als Teilmenge ℝ × {0}. Mit G28 schließen wir, dass

ℂ ein Vektorraum über ℝ ist. Die Vektoren ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) and ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ), welche in ℂ auch schlicht 1

und i genannt werden, bilden eine Basis von ℂ, da sie eine Basis von ℝ^{2} sind. Also ist die Dimension von ℂ über ℝ gleich 2.

(T 7)

Es sei die ϕ : ℝ[x] →↦ ℝ[x], p ↦ p′ die Ableitungsabbildung, welche jedem Polynom p seine Ableitung p′ zuordnet.

(a) Ist ϕ linear?

(b) Bestimmen Sie den Kern von ϕ.

(c) Bestimmen Sie das Bild von ϕ.

(d) Ist ϕ injektiv? Ist ϕ surjektiv?

Lösung:

(a) Wir rechnen die beiden definierenden Eigenschaften der Linearität nach: (L1) Für zwei Elemente p_{1} und p_{2} ∈ ℝ[x] gilt

ϕ(p_{1} + p_{2}) = (p_{1} + p_{2})′ = p′_{1} + p′_{2} = ϕ(p_{1}) + ϕ(p_{2}).

(L2) Für λ ∈ ℝ und p_{2} ∈ ℝ[x] gilt ϕ(λp_{2}) = (λp_{2})′ = λ(p′_{2}) = λϕ(p_{2}). Somit ist ϕ linear.

(b) Der Kern von ϕ ist diejenige Teilmenge von ℝ[x], welche von Funktionen erzeugt wird, deren Ableitung überall verschwindet (d.h. konstant Null ist). Mit anderen Worten handelt es sich dabei um die konstanten Funktionen.

(c) Jede Funktion in ℝ[x] hat eine Stammfunktion in ℝ[x]. Also ist das Bild von ϕ wiederum ℝ[x].

(d) ϕ ist nicht injektiv, da ihr Kern nicht {0} ist. Allerdings ist ϕ surjektiv gemäß Aufgabenteil c).