Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Kay Schwieger

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

�

WS 2007/2008 9.10.2007

Lineare Algebra I

4. Tutorium

(T 1) Die Assoziativität der Matrizenmultiplikation.

Es seien A eine m × n-, B eine n × p- und C eine p × q-Matrix.

(a) Wieviel Zeilen und wieviel Spalten haben die Matrizen (AB), BC und A(BC)?

(b) Geben Sie eine Formel für die Einträge (A(BC))_{il} und eine Formel für die Einträge ((AB)C)_{il} an.

(c) Beweisen Sie das Assoziativgesetz der Matrizenmultiplikation.

(T 2) Matrizenmultiplikation

Es seien die Matrizen

A = (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) , B = (2, −4, 6), C = (\begin{matrix}2 & 3 \\ 7 & −1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) und D = (\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & −1 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix})

gegeben. Berechnen Sie alle möglichen Matrizenprodukte mit zwei Faktoren.

(T 3) Orthogonalraum

Das kanonische Skalarprodukt ⟨·, ·⟩ : ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ^{n} ist für Vektoren v = (v_{1}, …, v_{n}) und w = (w_{1}, …, w_{n}) durch

⟨v, w⟩ := v · w^{T} = (v_{1}, …, v_{n}) · (w_{1} ; ⋮ ; w_{n}) = ∑_{i=1}^{n} v_{i}w_{i}

gegeben. Es sei 0 ≠ v ∈ ℝ^{n}. Beweisen Sie, daß die Menge A^{⊥} := {x ∈ ℝ^{n} | ⟨v, x⟩ = 0} ein linearer Teilraum von ℝ^{n} ist.

(T 4) Matrizenmultiplikation

Berechnen Sie für

A = ( \begin{matrix}4 & −1 \\ −2 & 1 \end{matrix} ) , B = ( 2 1 −1 ) und C = ( \begin{matrix}−1 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )

die Produkte AB, AC, BC, BA, CA und AC^{T}, falls diese definiert sind. Welche der Summen A + B, A + C und B + C können Sie bilden?

(T 5) Matrizenmultiplikation

Finden Sie quadratische Matrizen A, B, C, D gleicher Dimension für die AB ≠ BA, CD = DC und C ≠ D gilt.

(T 6) Inverse Matrizen

Es sei E die (n × n)-Einheitsmatrix. Eine (n × n)-Matrix A^{−1} heißt Inverse Matrix zur (n × n)-Matrix A, falls A^{−1} · A = A · A^{−1}A = E gilt. Bestimmen Sie die Inverse der Diagonalmatrix

D = (\begin{matrix}d_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & d_{2} & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & d_{n} \end{matrix})

mit Diagonaleinträgen d_{1}, …, d_{n} ∈ ℝ \ {0}.