Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Kay Schwieger

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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WS 2007/2008 9.10.2007

Lineare Algebra I

4. Tutorium mit Lösungshinweisen

(T 1)

Es seien A eine m × n-, B eine n × p- und C eine p × q-Matrix.

(a) Wieviel Zeilen und wieviel Spalten haben die Matrizen (AB), BC und A(BC)?

(b) Geben Sie eine Formel für die Einträge (A(BC))_{il} und eine Formel für die Einträge ((AB)C)_{il} an.

(c) Beweisen Sie das Assoziativgesetz der Matrixmultiplikation.

Lösung:

(a) Die Matrix AB ist eine m × p-Matrix, die Matrix BC ist eine n × q-Matrix und die Matrix A(BC) ist eine m × q-Matrix.

(b) Nach Definition der Matrixmultiplikation ist der Eintrag (BC)_{jl} durch (BC)_{jl} = ∑_{k=1}^{p} b_{jk}c_{kl} gegeben. Es folgt

(A(BC))_{il} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}(BC)_{jl}

= ∑_{j=1}^{n} a_{ij} (∑_{k=1}^{p} b_{jk}c_{kl})

= ∑_{j=1}^{n} ∑_{k=1}^{p} a_{ij}b_{jk}c_{kl}.

Nach Definition der Matrixmultiplikation ist der Eintrag (AB)_{ik} durch (AB)_{ik} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk} gegeben. Es folgt

((AB)C)_{il} = ∑_{k=1}^{p}(AB)_{ik}c_{kl}

= ∑_{k=1}^{p} (∑_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk}) c_{kl}

= ∑_{k=1}^{p} ∑_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk}c_{kl}.

(c) Nach Aufgabenteil b) Sind die Matrizen A(BC) und (AB)C gleich. Da dies für beliebige m, n, p, q ∈ ℕ und Matrizen in obiger Größe gilt, ist die Matrixmultiplikation assoziativ.

(T 2) Matrizenmultiplikation

Es seien die Matrizen

A = (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) , B = (2, −4, 6), C = (\begin{matrix}2 & 3 \\ 7 & −1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) und D = (\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & −1 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix})

gegeben. Berechnen Sie alle möglichen Matrizenprodukte mit zwei Faktoren.

Lösung:

Die möglichen Produkte sind

AB = (\begin{matrix}2 & −4 & 6 \\ 4 & −8 & 12 \\ 6 & −12 & 18 \end{matrix}) , BA = 12, BC = (−30, 10),

DA = (\begin{matrix}4 \\ 2 \\ −4 \\ −2 \end{matrix}) und DC = (\begin{matrix}1 & 3 \\ 7 & −1 \\ −1 & −3 \\ −7 & 1 \end{matrix}) .

(T 3)

Das kanonische Skalarprodukt ⟨·, ·⟩ : ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ^{n} ist für Vektoren v = (v_{1}, …, v_{n}) und w = (w_{1}, …, w_{n}) durch

⟨v, w⟩ := v · w^{T} = (v_{1}, …, v_{n}) · (w_{1} ; ⋮ ; w_{n}) = ∑_{i=1}^{n} v_{i}w_{i}

gegeben. Es sei 0 ≠ v ∈ ℝ^{n}. Beweisen Sie, daß die Menge A^{⊥} := {x ∈ ℝ^{n} | ⟨v, x⟩ = 0} ein linearer Teilraum von ℝ^{n} ist.

Lösung:

Die Menge A^{⊥} := {x ∈ ℝ^{n} | ⟨v, x⟩ = 0} ist die Lösungsmenge des linearen homogenen Gleichungssystems v_{1}x_{1} +⋯+v_{n}x_{n} =. Da Lösungsmengen linearer homogener Gleichungssysteme lineare Unterräume sind, ist auch A^{⊥} ein linearer Teilraum des ℝ^{n}.

(T 4)

Berechnen Sie für

A = ( \begin{matrix}4 & −1 \\ −2 & 1 \end{matrix} ) , B = ( 2 1 −1 ) und C = ( \begin{matrix}−1 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )

die Produkte AB, AC, BC, BA, CA und AC^{T}, falls diese definiert sind. Welche der Summen A + B, A + C und B + C können Sie bilden?

Lösung:

(1) AB: nicht möglich, denn die Anzahl der Spalten von A stimmt nicht mit der Zeilenanzahl von B überein.

(2) AC: nicht möglich.

(3) BC: möglich, ”Zeile mal Spalte”.

BC = ( 2 · (−1) + 1 · 3 + (−1) · 0 2 · 2 + 1 · 0 + (−1) · 1 ) = ( 1 3 )

(4) BA: nicht möglich.

(5) CA: möglich.

CA = ( \begin{matrix}(−1) · 4 + 2 · (−2) & (−1) · (−1) + 2 · 1 \\ 3 · 4 + 0 · (−2) & 3 · (−1) + 0 · 1 \\ 0 · 4 + 1 · (−2) & 0 · (−1) + 1 · 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−8 & 3 \\ 12 & −3 \\ −2 & 1 \end{matrix} )

(6) AC^{T}: möglich.

AC^{T} = ( \begin{matrix}4 · (−1) + (−1) · 2 & 4 · 3 + (−1) · 0 & 4 · 0 + (−1) · 1 \\ (−2) · (−1) + 1 · 2 & (−2) · 3 + 1 · 0 & (−2) · 0 + 1 · 1 \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}−6 & 12 & −1 \\ 4 & −6 & 1 \end{matrix} )

Keine der Summen kann gebildet werden. Die Dimensionen stimmen nicht überein.

(T 5) Finden Sie quadratische Matrizen A, B, C, D gleicher Dimension für die AB ≠ BA, CD = DC und C ≠ D gilt.

Lösung: E

s sei

A = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) und B = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

Dann gilt

AB = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) ≠ (\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = BA.

Weiter sei

C = (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) und D = (\frac{1}{\sqrt{2}} −\frac{1}{\sqrt{2}}_{\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}}) .

Dann gilt C ≠ D und

CD = (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\frac{1}{\sqrt{2}} −\frac{1}{\sqrt{2}}_{\frac{1}{\sqrt{2}}  \frac{1}{\sqrt{2}}}) = (\begin{matrix}−\frac{1}{\sqrt{2}} & −\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & −\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}) = (\frac{1}{\sqrt{2}} −\frac{1}{\sqrt{2}}_{\frac{1}{\sqrt{2}}  \frac{1}{\sqrt{2}}}) (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = DC.

(T 6)

Es sei E die (n × n)-Einheitsmatrix. Eine (n × n)-Matrix A^{−1} heißt Inverse Matrix zur (n × n)-Matrix A, falls A^{−1} · A = A · A^{−1}A = E gilt. Bestimmen Sie die Inverse der Diagonalmatrix

D = (\begin{matrix}d_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & d_{2} & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & d_{n} \end{matrix})

mit Diagonaleinträgen d_{1}, …, d_{n} ∈ ℝ \ {0}.

Lösung:

Offensichtlich gilt

(\begin{matrix}d_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & d_{2} & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & d_{n} \end{matrix}) (\begin{matrix}\frac{1}{d_{1}} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & \frac{1}{d_{2}} & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & \frac{1}{d_{n}} \end{matrix} ) = (\begin{matrix}1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 \end{matrix}) .

= (\begin{matrix}\frac{1}{d_{1}} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & \frac{1}{d_{2}} & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & \frac{1}{d_{n}} \end{matrix} ) (\begin{matrix}d_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & d_{2} & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & d_{n} \end{matrix})

Somit folgt

D^{−1} = (\begin{matrix}\frac{1}{d_{1}} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & \frac{1}{d_{2}} & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & \frac{1}{d_{n}} \end{matrix} ) .