Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Kay Schwieger

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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WS 2007/2008

Lineare Algebra I

14. Tutorium

(T 1) Skalarprodukte

(a) Zeigen Sie, daß durch ⟨A, B⟩ := tr(B^{T} A) der Raum M(m × n, ℝ) der reellen m × n-Matrizen mit einem euklidischen Skalarprodukt ausgestattet wird.

(b) Bestimmen Sie den Winkel zwischen der Einheitsmatrix E_{2} und der Matrix

A := ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ) .

(T 2) Skalarprodukte

Erklären Sie Ihrem Tutoriumsleiter die geometrische Bedeutung des Standard-Skalarproduktes im ℝ^{3}.

(T 3) Direkte Summen/Eigenräume

Es sei A : V → V eine diagonalisierbare 𝕂-lineare Selbstabbildung des 𝕂-Vektorraumes V. Beweisen Sie, daß die Summe der eigenräume

∑_{λ istEigenwertvonA} Eig(A, λ)

direkt ist und daß V = ⊕_{λ}Eig(A, λ) gilt.

(T 4) Eigenwerte

Erklären Sie Ihrem Tutoriumsleiter die Bedeutung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer linearen Abbildung, deren Darstellungsmatrix diagonalisierbar ist.

(T 5) Sesquilinearformen

Es sei V ein ℂ-Vektorraum mit Sesquilinearform ⟨·, ·⟩. Weiterhin sei A : V → V eine ℂlineare Abbildung mit adjungierter Abbildung A^{∗} (,d.h. es gilt ⟨A(v), w⟩ = ⟨v, A^{∗}(w)⟩ für alle v, w ∈ V). Beweisen Sie Ker A = (Im A^{∗})^{⊥} und Im A = (Ker A^{∗})^{⊥}.

(T 6) Diagonalisierbarkeit

Es seien A, B : V → V diagonalisierbare 𝕂-lineare Selbstabbildungen des 𝕂-Vektorraumes V.

(a) Ist A ∘ B diagonalisierbar

(b) Ist A ∘ B im Falle A ∘ B = B ∘ A diagonalisierbar?