Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Kay Schwieger

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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WS 2007/2008 9.10.2007

Lineare Algebra I

10. Tutorium

(T 1) Determinanten Berechnen Sie für jede reelle Zahl b ∈ ℝ die Determinante der Matrizen

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix} ) und B = ( \begin{matrix}b & 0 & 0 & 1 \\ 0 & b & 1 & 0 \\ 0 & 1 & b & 0 \\ 1 & 0 & 0 & b \end{matrix} )

1. durch Spalten- und Zeilenumformungen.

2. durch Entwicklung nach der zweiten Zeile.

3. mit der Regel von Sarrus (falls möglich). (T 2) Die Spur Die Spur trA einer n × n-Matrix A ist die Summe ∑ a_{ii} aller Diagonalelemente.

(a) Zeigen Sie trAB = trBA für alle n × n-Matrizen A und B.

(b) Beweisen Sie, daß sich die Spur einer Matrix unter Ähnlichkeitstransformationen nicht ändert.

(c) Es sei φ : V → V eine lineare Selbstabbildung des n-dimensionalen Vektorraumes V. Zeigen Sie, daß die Spur einer Darstellungsmatrix M_{B}^{B}(φ) unabhängig von der gewählten Basis B ist.

(T 3) Welche der folgenden Aussagen ist für beliebige n×n-Matrizen A und B wahr?

(a) tr(A) + tr(B) = tr(A + B) (b) tr(A)tr(B) = tr(AB) (c) tr(A) = tr(A^{T}) (T 4) Bestimen Sie die Spur folgender linearen Abbildungen:

(a) ℝ^{n} → ℝ^{n}, v⃗ ↦ −v⃗

(b) Der Orthogonalspiegelung an der Winkelhalbierenden im 1. und 3. Quadranten.

(c) Einer Drehung im ℝ^{2} im Uhrzeigersinn um den Winkel \frac{7π}{e}.

(d) Einer Spiegelung des ℝ^{n} an einer Hyperebene. (T 5) GL(2, 𝔽_{p}) Wir betrachten die Menge GL(n, 𝔽_{p} der 2 × 2-Matrizen mit Einträgen im Körper 𝔽_{p} mit p Elementen.

(a) Zeigen Sie, daß GL(n, 𝔽_{p}) mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe ist.

(b) Welche Ordnung (d.h. wieviele Elemente) hat die Gruppe GL(n, 𝔽_{p})?