Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Kay Schwieger

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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WS 2007/2008 9.10.2007

Lineare Algebra I

Tutorium

(T 1) Für zwei ganze Zahlen a, c schreiben wir a|c, falls a die Zahl c teilt. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen. Machen Sie sich dabei bewußt, was genau zu tun ist, um eine Aussage zu beweisen bzw. zu widerlegen.

(a) Gilt a|b und b|c, so folgt a|d.

(b) Gilt a|b und b|a, so folgt a = b oder a = −b.

(c) Gilt a|b und a|c, so gilt auch a|(b + c) und a|(b − c).

(d) Gilt a|c und b|c, so folgt (a + b)|c.

(e) Gilt a|b, so gilt für jede Zahl c auch a|b · c.

(f) Gilt a|c und b|c, so gilt auch (a · b)|c. (T 2) Schreiben Sie die Aussagen aus Aufgabe T1 mit Hilfe des Quantors ∀ (Für alle), des Zeichens ∧ für “und”, des Zeichens ∨ für “oder” und mit Hilfe des Implikationspfeils ⇒. Die Aussage aus Aufgabe T1 a) läßt sich z.B. durch “∀ a, b, c ∈ ℤ : a | b ∧ b | c ⇒ a | c” kurz schreiben. (T 3) Kongruenzklassen Es sei n ≥ 2 eine natürliche Zahl. Wir nennen zwei Zahlen a, b kongruent modulo n, falls die ganze Zahl a − b durch n teilbar ist. Wir schreiben in diesem Fall a ≡ b (mod n).

(a) Für welche Zahlen a gilt a ≡ 0 (mod 2), für welche gilt a ≡ 1 (mod 2)?

(b) Zeige, daß a ≡ 0 (mod n) genau dann gilt, wenn n|a gilt. Hinweis: Die Satzkonstruktion ”genau dann …, wenn“ beinhaltet zwei Implikationen.

(c) Zeige, daß a ≡ b (mod n) genau dann gilt, wenn a und b denselben Rest bei Division durch n haben. Formuliere hierzu vor dem Beweis genau, was du unter dem Rest bei Division durch n verstehst.

(d) Zeige: Gilt a ≡ b (mod n) und c ≡ d (mod n), so gilt auch a ± c ≡ b ± d (mod n) und a · c ≡ b · d (mod n) .

(T 4)

(a) Zeige, daß es für jede natürliche Zahl a genau eine Zahl k ∈ {0, 1, 2, 3} mit a ≡ k (mod 4) gibt! Hinweis: Die Satzkonstruktion ”genau eine“ ist gleichbedeutend mit ”eine und nur eine“.

(b) Wieviele Primzahlen p gibt es mit p ≡ 0 (mod 4), wieviele mit p ≡ 2 (mod 4)?

(c) Gibt es unendlich viele Primzahlen p mit p ≡ 3 (mod 4)? Die folgenden Teilaufgaben

können dir vielleicht bei deiner Entscheidung helfen:

1. In der Vorlesung wurde gezeigt, daß es unendlich viele Primzahlen gibt. Diskutiere in deiner Gruppe die wesentlichen Schritte des Beweises!

2. Zeige, daß für alle natürlichen Zahlen a_{1}, …, a_{n} gilt:

∏_{i=1}^{n}(4a_{i} + 1) ≡ 1 (mod 4) ,
∏_{i=1}^{n}(4a_{i} + 3) ≡ (−1)^{n} (mod 4) .

(d) (Für Interessierte) Gibt es unendlich viele Primzahlen p mit p ≡ 1 (mod 4)?