Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Bruinier

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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WS 07/08 04. März 2008

Bachelorklausur Lineare Algebra I

für M / Ph.-Bsc.

Bitte alle Blätter mit Namen und Matrikelnummer versehen, fortlaufend numerieren und am Schluß in die einmal gefalteten Aufgabenblätter legen. Alle Ergebnisse sind zu begründen. Insbesondere werden Lösungswege bewertet.

Name:

Vorname:

Matr.-Nr.:

Fachrichtung:

Aufgabe  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 Gesamt Note
mögl. Punktzahl 10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  110

err. Punktzahl

• Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.

• Alle Blätter dürfen nur einseitig beschrieben werden.

• Lösungsschritte und Teilergebnisse sind ausreichend zu begründen.

• Alle Ergebnisse/Sätze, die nicht Inhalt der Vorlesung waren, müssen begründet werden!

• Programmierbare (Taschen)rechner sind nicht zugelassen.

• Mobiltelefone sind ausgeschaltet in einer Tasche zu verstauen.

• Viel Erfolg!

Aufgabe 1 (10 Punkte) Es sei K ein Körper, V und W Vektorräume über K sowie f : V → W eine K-lineare Abbildung. Markieren Sie die richtigen Aussagen:

□  Ist f injektiv, so gilt dim(V) ≤ dim(W).
□  Ist f injektiv, so gilt dim(V) ≥ dim(W).
□  Ist f bijektiv, so gilt dim(V) ≤ dim(W).
□  Ist f bijektiv, so gilt dim(V) ≥ dim(W).

Aufgabe 2 (10 Punkte)

Es sei λ ∈ K und M_{λ} = ( \begin{matrix}1 & λ \\ λ & λ \end{matrix}) ∈ K^{2×2}.

□  Es gilt Rang M_{λ} ≤ 1 für alle λ ∈ K.
□  Es gilt Rang M_{λ} ≥ 1 für alle λ ∈ K.
□  Es gibt ein λ ∈ K, so daß Rang(M_{λ}) = 0.
□  Es gibt ein λ ∈ K, so daß Rang(M_{λ}) = 2.

Aufgabe 3 (10 Punkte) Es seien v_{1}, v_{2}, v_{3} ∈ ℝ^{3} linear unabhängige Vektoren.

□  Die Vektoren v_{1}, v_{2}, v_{3} bilden ein Erzeugendensystem des ℝ^{3}.
□  Die Vektoren v_{1}, v_{2}, v_{3} bilden eine Basis des ℝ^{3}.
□  Es gilt v_{1} + v_{2} + v_{3} = 0.
□  Es gilt v_{1} + v_{2} + v_{3} ≠ 0.

Aufgabe 4 (10 Punkte) Welche der folgenden Matrizen sind über ℝ diagonalisierbar?.

\begin{matrix}□ & ( \begin{matrix}7 & 1 \\ 0 & 7 \end{matrix} ). \\ □ & ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ). \\ □ & ( \begin{matrix}7 & 1 \\ 1 & 7 \end{matrix} ). \\ □ & ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 7 \end{matrix} ). \end{matrix}

Aufgabe 5 (10 Punkte) Es sei f : ℝ^{4} → ℝ^{4} die lineare Abbildung, welche bezüglich der Standardbasis die Darstellungsmatrix

(\begin{matrix}1 & 2 & 5 & 2 \\ 2 & 3 & 6 & 2 \\ 1 & 0 & −3 & −2 \\ 4 & 5 & 8 & 2 \end{matrix})

hat. Bestimmen Sie jeweils eine Basis des Kerns und des Bildes von f. Aufgabe 6 (10 Punkte) Es sei f : V → V eine lineare Selbstabbildung des Vektorraumes V und U in f-invarianter Untervektorraum von V (d.h. f(U) ⊂ U). Für die einschränkung von f auf U gelte f_{midU} = 0. Beweisen Sie die folgenden Behauptunegn:

(a) Beweisen Sie die Ungleichung Rang f ≤ \frac{1}{2}dim V.

(b) Zeigen Sie f ∘ f = 0.

(c) Beweisen Sie, daß die Abbildung id_{V} + f invertierbar ist und geben Sie die inverse Abbildung (id_{V} + f)^{−1} an.

Aufgabe 7 (10 Punkte) Es sei n eine natürliche Zahl und A = (a_{ij}) ∈ ℝ^{n×n} die Matrix mit a_{ij} = 1 für alle i, j ∈ {1, …, n}. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Die Zahl n ist ein Eigenwert von A.

(b) Die Zahl 0 ist genau dann ein Eigenwert von A, wenn n ≥ 2 gilt.

(c) Im Falle n ≥ 2 sind 0 und n die einzigen Eigenwerte von A.

Aufgabe 8 (10 Punkte) Die Folge (f_{n})_{n∈ℕ} sei durch die Rekursionsvorschrift

f_{0} := 0 ,  f_{1} := 1 ,  f_{n+2} := f_{n} + 2f_{n+1}

für alle n ∈ ℕ gegeben. Wir suchen eine explizite Darstellung dieser Zahlen.

1. Berechnen Sie die ersten 5 Folgeglieder f_{1}, …, f_{5}.

2. Finden Sie eine Matrix F ∈ ℝ^{2×2}, so dass für alle n ∈ ℕ_{0} gilt (Beweis!)

F^{n} (\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}f_{n} \\ f_{n+1} \end{matrix}) ,

3. Zeigen Sie, daß F reell diagonalisierbar ist.

1. \begin{matrix}n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ f_{n} & 0 & 1 & 2 & 5 & 12 & 29 \end{matrix}

2. Wir setzen F := ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} ). Durch vollständige Induktion zeigt man dann leicht, dass diese Matrix auch die gewünschte Bedingung erfüllt:

F^{0} ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) ,
F^{n+1} ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) = F F^{n} ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) = F ( \begin{matrix}f_{n} \\ f_{n+1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}f_{n+1} \\ f_{n}+2f_{n+1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}f_{n+1} \\ f_{n+2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}f_{n+1} \\ f_{n}+f_{n+1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}f_{n+1} \\ f_{n+2} \end{matrix} ) .

3. Als charakteristisches Polynom von F ergibt sich

P_{F} (λ) = det(λE_{2} − F) = λ(λ − 2) − 1 = λ^{2} − 2λ − 1 .

Die Eigenwerte von F sind somit durch λ_{1} = 2 + \sqrt{5} und λ_{2} = 2 − \sqrt{5} gegeben. Da F zwei verschiedene Eigenwerte besitzt, ist die Matrix diagonalisierbar.

Aufgabe 9 (10 Punkte)

Gegeben sei die Matrix

A = ( \begin{matrix}2 & −3 & −3 \\ −2 & 2 & −2 \\ 2 & 3 & 7 \end{matrix} ) .

(a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von A.

(b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren.

(c) Ist A ähnlich zu einer Diagonalmatrix? Falls ja, geben Sie eine Diagonalmatrix D und eine Matrix T an, so daß T^{−1}AT = D gilt.

(a)

det(A − λE) = det ( \begin{matrix}2 − λ & −3 & −3 \\ −2 & 2 − λ & −2 \\ 2 & 3 & 7 − λ \end{matrix} ) = det ( \begin{matrix}2 − λ & −3 & −3 \\ −2 & 2 − λ & −2 \\ 0 & 5 − λ & 5 − λ \end{matrix} )
= (2 − λ) · ((2 − λ)(5 − λ) + 2(5 − λ)) + 2 · (−3(5 − λ) + 3(5 − λ))
= (2 − λ)(5 − λ)[(2 − λ) + 2 + 0]
= (5 − λ)(4 − λ)(2 − λ).

Also ist P_{A}(λ) = (5 − λ)(4 − λ)(2 − λ).

(b) Die Eigenwerte von A sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, also λ_{1} = 2, λ_{2} = 4, λ_{3} = 5.

Die zu λ_{i} gehörenden Eigenvektoren ergeben sich als Lösung der Gleichungssysteme (A − λ_{i}E)v_{i} = 0, i = 1, 2, 3. Zu beachten ist noch, daß der Nullvektor per Definition nie ein Eigenvektor ist.

\underline{λ_{1} = −1}: In diesem Fall ist (A + E)v_{1} = 0 zu lösen.

( \begin{matrix}0 & −3 & −3 & 0 \\ −2 & 0 & −2 & 0 \\ 2 & 3 & 5 & 0 \end{matrix} ) ⇝ ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Also ist

v_{1} = μ · ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) , μ ∈ ℝ \ \{0\}.

\underline{λ_{2} = 1}: Hier ist (A − E)v_{2} = 0 zu lösen.

( \begin{matrix}−2 & −3 & −3 & 0 \\ −2 & −2 & −2 & 0 \\ 2 & 3 & 3 & 0 \end{matrix} ) ⇝ ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Somit

v_{2} = μ · ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) , μ ∈ ℝ \ \{0\}.

\underline{λ_{3} = 2}: Jetzt ist (A − 2E)v_{3} = 0 zu betrachten.

( \begin{matrix}−3 & −3 & −3 & 0 \\ −2 & −3 & −2 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 0 \end{matrix} ) ⇝ ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Also

v_{3} = μ · ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} ) , μ ∈ ℝ \ \{0\}.

(c) Die Matrix A ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix.

D = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) , T = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ −1 & −1 & −1 \end{matrix} )

Aufgabe 10 (10 Punkte) Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum der Dimension n und W ein K-Vektorraum der Dimension m. Weiterhin bezeichne Hom_{K}(V, W) die Menge aller K-linearen Abbildungen von V nach W.

(a) Zeigen Sie, dass Hom_{K}(V, W) ein K-Vektorraum ist.

(b) Bestimmen Sie die Dimension von Hom_{K}(V, W).

(c) Berechnen Sie die Anzahl der Elemente von Hom_{K}(V, W), falls K der Körper mit zwei Elementen ist.

Aufgabe 11 (10 Punkte) Es sei φ : Q^{2×2} → ℚ^{2×2} die durch A ↦ A + A^{T} gegebene Abbildung.

(a) Zeigen Sie, daß φ eine ℚ-lineare Abbildung ist.

(b) Bestimmen Sie den Kern und das Bild von φ.

(c) Bestimmen Sie die Eigenwerte der linearen Abbildung φ