Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Bruinier

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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WS 07/08 04. März 2008

Lineare Algebra I

für M.-Bsc. /LaGM

Bitte alle Blätter mit Namen und Matrikelnummer versehen, fortlaufend numerieren und am Schluß in die einmal gefalteten Aufgabenblätter legen. Alle Ergebnisse sind zu begründen. Insbesondere werden Lösungswege bewertet.

Name:

Vorname:

Matr.-Nr.:

Fachrichtung:

Aufgabe  1  2  3  4  5  6  7  8  Gesamt Bonus Note
Erreichbar  8  10  10  10  10  10  10  10  78

Erreicht

• Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.

• Alle Blätter dürfen nur einseitig beschrieben werden.

• Lösungsschritte und Teilergebnisse sind ausreichend zu begründen.

• Alle Ergebnisse/Sätze, die nicht Inhalt der Vorlesung waren, müssen begründet werden!

• Programmierbare (Taschen)rechner sind nicht zugelassen.

• Mobiltelefone sind ausgeschaltet in einer Tasche zu verstauen.

• Viel Erfolg!

Aufgabe 1 (8 Punkte) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind. Kreuzen Sie bitte nur die richtigen Aussagen an. Jedes richtige Kreuz gibt einen Punkt. Jedes falsche Kreuz gibt einen Punkt Abzug. Pro Teilaufgabe können Sie maximal 2 und minimal 0 Punkte erhalten.

(a) Es sei K ein Körper, V und W Vektorräume über K sowie f : V → W eine K-lineare Abbildung.

□  Ist f injektiv, so gilt dim(V) ≤ dim(W).
□  Ist f injektiv, so gilt dim(V) ≥ dim(W).
□  Ist f bijektiv, so gilt dim(V) ≤ dim(W).
□  Ist f bijektiv, so gilt dim(V) ≥ dim(W).

(b) Es sei λ ∈ K und M_{λ} = ( \begin{matrix}1 & λ \\ λ & λ \end{matrix} ) ∈ K^{2×2}.

□  Es gilt Rang M_{λ} ≤ 1 für alle λ ∈ K.
□  Es gilt Rang M_{λ} ≥ 1 für alle λ ∈ K.
□  Es gibt ein λ ∈ K, so daß Rang(M_{λ}) = 0.
□  Es gibt ein λ ∈ K, so daß Rang(M_{λ}) = 2.

(c) Es seien v_{1}, v_{2}, v_{3} ∈ ℝ^{3} linear unabhängige Vektoren.

□  Die Vektoren v_{1}, v_{2}, v_{3} bilden ein Erzeugendensystem des ℝ^{3}.
□  Die Vektoren v_{1}, v_{2}, v_{3} bilden eine Basis des ℝ^{3}.
□  Es gilt v_{1} + v_{2} + v_{3} = 0.
□  Es gilt v_{1} + v_{2} + v_{3} ≠ 0.

(d) Welche der folgenden Matrizen sind über ℝ diagonalisierbar?.

□ ( \begin{matrix}7 & 1 \\ 0 & 7 \end{matrix} ).  □ ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ).  □ ( \begin{matrix}7 & 1 \\ 1 & 7 \end{matrix} ).  □ ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 7 \end{matrix} ).

Aufgabe 2 (10 Punkte) Es sei f : ℝ^{4} → ℝ^{4} die lineare Abbildung, welche bezüglich der Standardbasis die Darstellungsmatrix

(\begin{matrix}1 & 2 & 5 & 2 \\ 2 & 3 & 6 & 2 \\ 1 & 0 & −3 & −2 \\ 4 & 5 & 8 & 2 \end{matrix})

hat. Bestimmen Sie jeweils eine Basis des Kerns und des Bildes von f.

Aufgabe 3 (10 Punkte) Es sei f : V → V eine lineare Selbstabbildung des Vektorraumes V und es gelte f(V) ⊂ U. Für die einschränkung von f auf U gelte f_{|U} = 0. Beweisen Sie die folgenden Behauptungen:

(a) Beweisen Sie die Ungleichung Rang f ≤ \frac{1}{2}dim V.

(b) Zeigen Sie f ∘ f = 0.

(c) Beweisen Sie, daß die Abbildung id_{V} +f invertierbar ist und geben Sie die inverse Abbildung (id_{V} + f)^{−1} an.

Aufgabe 4 (10 Punkte) Es sei n eine natürliche Zahl und A = (a_{ij}) ∈ ℝ^{n×n} die Matrix mit a_{ij} = 1 für alle i, j ∈ {1, …, n}. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Die Zahl n ist ein Eigenwert von A.

(b) Die Zahl 0 ist genau dann ein Eigenwert von A, wenn n ≥ 2 gilt.

(c) Im Falle n ≥ 2 sind 0 und n die einzigen Eigenwerte von A.

Aufgabe 5 (10 Punkte) Die Folge (f_{n})_{n∈ℕ} sei durch die Rekursionsvorschrift f_{0} := 0, f_{1} := 1 und f_{n+2} := f_{n} + 2f_{n+1} für alle n ∈ ℕ gegeben.

(a) Berechnen Sie die ersten 5 Folgeglieder f_{1}, …, f_{5}.

(b) Finden Sie eine Matrix F ∈ ℝ^{2×2}, so dass für alle n ∈ ℕ_{0} gilt (Beweis!):

F^{n} (\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}f_{n} \\ f_{n+1} \end{matrix})

(c) Zeigen Sie, daß F reell diagonalisierbar ist.

Aufgabe 6 (10 Punkte) Gegeben sei die Matrix

A = ( \begin{matrix}2 & −3 & −3 \\ −2 & 2 & −2 \\ 2 & 3 & 7 \end{matrix} ) .

(a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von A.

(b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren.

(c) Ist A ähnlich zu einer Diagonalmatrix? Falls ja, geben Sie eine Diagonalmatrix D und eine Matrix T an, so daß T^{−1}AT = D gilt.

Aufgabe 7 (10 Punkte) Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum der Dimension n und W ein K-Vektorraum der Dimension m. Weiterhin bezeichne Hom_{K}(V, W) die Menge aller K-linearen Abbildungen von V nach W.

(a) Zeigen Sie, dass Hom_{K}(V, W) ein K-Vektorraum ist.

(b) Bestimmen Sie die Dimension von Hom_{K}(V, W).

(c) Berechnen Sie die Anzahl der Elemente von Hom_{K}(V, W), falls K der Körper mit zwei Elementen ist.

Aufgabe 8 (10 Punkte) Es sei φ : ℚ^{2×2} → ℚ^{2×2} die durch A ↦ A + A^{T} gegebene Abbildung.

(a) Zeigen Sie, daß φ eine ℚ-lineare Abbildung ist.

(b) Bestimmen Sie den Kern und das Bild von φ.

(c) Bestimmen Sie die Eigenwerte der linearen Abbildung φ.

(d) Bestimmen Sie eine Basis aus Eigenvektoren von ℚ^{2×2}.