Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Kay Schwieger

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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WS 2007/2008

Lineare Algebra I

9. Übung mit Lösungshinweisen

Gruppenübungen

MINITEST

(T 1) Der Kern einer linearen Abbildung ϕ : V → W ist

□ ϕ^{−1}({0}). □ ϕ({0}). □ ϕ(V). □ {v ∈ V : ϕ(v) = 0}.

(T 2)

Sei ϕ : V → W eine lineare Abbildung. Welche der folgenden Ungleichungen ist richtig?

□ dim(Imϕ) ≤ dim V  □ dim(Imϕ) ≤ dim W  □ dim(ker ϕ) ≤ dim V

□ dim(ker ϕ) ≤ dim W

(T 3) Der Vektorraum ¶_{n}(𝕂) der Polynome vom Grad ≤ n ist isomorph zu

□ 𝕂 □ 𝕂^{n} □ 𝕂^{n−1} □ 𝕂^{n+1} □ 𝕂^{2} □ ¶_{n}(𝕂)

(G 1) Determinanten

Berechnen Sie die Determinanten der folgenden reellwertigen Matrizen:

(a) A := ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} )  (b) B := ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} )  (c) C := ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} )

(G 2) Spiegelungen

Es sei g die Gerade durch den Ursprung, die mit der positiven x-Achse im ℝ^{2} im Gegenuhrzeigersinn den Winkel γ ∈ [0, 2π] einschließt und σ_{g} : ℝ^{2} → ℝ^{2} die Orthogonalspiegelung an der Geraden g.

(a) Bestimmen Sie eine Basis von g.

(b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatix M_{K_{2}}^{K_{2}}(σ_{g}) zur Abbildung σ_{g}.

(c) Berechnen Sie die Determinante detM_{K_{2}}^{K_{2}}(σ_{g}).

(G 3) Determinanten und Basiswechsel

Die lineare Funktion L : ℝ^{3} → ℝ^{3} sei durch die Darstellungsmatrix

M_{K_{3}}^{K_{3}}(L) = (\begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & −1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix})

bezüglich der Standardbasis K_{3} gegeben.

(a) Berechnen Sie die Determinante detM_{K_{3}}^{K_{3}}(L)

(b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix M_{B}^{B}(L) von L bezüglich der Basis

B = ((\begin{matrix}1 \\ −1 \\ −1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})) .

(c) Berechnen Sie die Determinante detM_{B}^{B}(L) und vergleichen Sie sie mit detM_{K_{3}}^{K_{3}}(L). Erklären Sie Ihr Ergebnis.

(G 4) Projektionen Eine lineare Abbildung ϕ : V → V heißt Projektion, falls ϕ ∘ ϕ = ϕ gilt. Es sei ϕ eine Projektion.

(a) Zeigen Sie, daß V = ker ϕ + Imϕ gilt.

(b) Ist die Summe in a) direkt, d.h. gilt: V = ker ϕ ∩ Imϕ = {0}?

(G 5) Vandermonde-Determinante Die Vandermonde Matrix V (x_{1}, …, x_{n}) für ein n-Tupel (x_{1}, …, x_{n}) ist durch

V (x_{1}, …, x_{n}) = (\begin{matrix}1 & x_{1} & x_{1}^{2} & ⋯ & x_{1}^{n−1} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & ⋯ & x_{2}^{n−1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & ⋯ & x_{n}^{n−1} \end{matrix})

gegeben.

(a) Berechnen Sie die Determinanten der Vandermonde-Matrizen V (x_{1}, x_{2}) und V (x_{1}, x_{2}, x_{3}). Schreiben Sie das Ergebnis als Produkt von Differenzen.

(b) Stellen Sie eine Vermutung für die allgemeine Vandermonde-Determinante detV (x_{1}, …, x_{n}) auf und beweisen Sie diese. Hinweis: Erzeugen Sie durch Spaltenoperationen möglichst viele Nullen in der ersten Zeile und entwickeln Sie dann nach der ersten Zeile.

(G 6) Matrizen und Determinanten Es seien beliebige quadratische (komplexwertige) Matrizen A und B gegeben. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

(a) AA = I ⟹ det(A) = ±1.

(b) A ist nicht invertierbar ⟹ AB ist nicht invertierbar.

(c) det(A) + det(B) = det(A + B).

(d) A^{3} = 0 ⟹ A = 0.

(e) A^{3} = 0 ⟹ (I − A)^{−1} = I + A + A^{2}.

(f) det(A) ∈ ℝ ⟹ alle Einträge in A sind reell.

Hausübungen

(A 14) (10 Punkte) Bestimmen Sie die Determinanten der Matrizen

A = (\begin{matrix}3 & 2 \\ 5 & 7 \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}3 & 7 & −4 \\ 2 & 5 & 3 \\ 9 & 2 & 0 \end{matrix}) und C = (\begin{matrix}3 & 7 & 8 & 9 \\ 4 & 3 & 1 & 4 \\ 6 & 8 & 8 & 9 \\ 0 & 2 & 3 & 7 \end{matrix}) .

(A 15) (10 Punkte) Es sei n ∈ ℕ eine natürliche Zahl. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Ist n gerade, so gibt es eine n × n-Matrix A, so dass A − A^{T} invertierbar ist.

(b) Ist n ungerade, so ist für alle n × n-Matrizen A die Matrix A − A^{T} nicht invertierbar.

(A 16) Determinanten (10 Punkte) Für n ≥ 2 berechne man

f(x) := det ( \begin{matrix}x & 1 & … & 1 \\ 1 & x & … & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 1 & 1 & … & x \end{matrix} )

(die Matrix sei in ℝ^{n×n}) und gebe f(0) sowie alle Nullstellen von f an.