Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Kay Schwieger

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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WS 2007/2008

Lineare Algebra I

7. Übung

Gruppenübungen

MINITEST

(T 1) Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

□ Die Vereinigung zweier Untervektorräume ist ein Untervektorraum. □ Die Summe zweier linearer Untervektorräume ist ein Untervektorraum.

□ Der Schnitt zweier linearer Untervektorräume ist ein Untervektorraum.

(T 2) In einem endlichdimensionalen Vektorraum ist eine Basis stets eine

□ linear unabhänige Teilmenge. □ maximale linear unabhänige Teilmenge. □ minimale linear unabhänige Teilmenge.

(T 3) Für Untervektorräume U und V eines Vektorraumes W gilt stets

□ dim(U ∩ V) = dim U − dim V. □ dim(U ∩ V) = dim V − dim U.

□ dim(U ∩ V) = dim U + dim V.

(G 1) Darstellungsmatrix

Es sei M ∈ ℝ^{m×n} einer reelle m×n-Matrix. Durch L(x) = M ·x wird eine lineare Abbildung L : ℝ^{n} → ℝ^{m} definiert.

(a) Die Bilder L(e_{j}) der Basisvektoren sind Linearkombinationen ∑_{i} c_{ji}e_{i} der Basisvektoren e_{i} ∈ K_{m}. Geben Sie die Koeffizienten c_{ji} mit Hilfe der Matrix M an.

(b) Geben sie die Matrix M_{K_{m}}^{K_{n}}(L) bezüglich der Standardbasen K_{n} und K_{m} an.

(G 2) Darstellungsmatrix

Es sei V der Vektorraum aller rellen Polynome vom Grad ≤ 4 mit der Basis B = {1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4}}.

(a) Welche Dimension hat V?

(b) Geben Sie die Darstellungsmatrix M_{B}^{B}(\frac{d}{dx}) der Ableitung \frac{d}{dx} : V → V an.

(G 3) Kern und Bild

(a) Gegeben sei die Abbildung

ϕ : ℝ^{2} → ℝ^{2}, (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) ↦ (\begin{matrix}x_{1} + x_{2} \\ x_{1} + x_{2} \end{matrix}) .

Ist ϕ linear? Bestimmen Sie den Kern sowie das Bild von ϕ und geben Sie Basen an.

(b) Es sei ϕ_{A} : ℝ^{3} → ℝ^{3}, x ↦ AX eine lineare Abbildung, welche durch die Matrix

A = (\begin{matrix}−3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ −2 & 1 & 2 \end{matrix}) .

gegeben ist. Bestimmen Sie eine Basis von kerϕ_{A} und imϕ_{A}.

(G 4) Basiswechsel Es seien V = ℝ^{3} und W = ℝ^{2} zwei reelle Vektorräume. Die Standardbasen K_{m} und K_{n} definieren zwei Isomorphismen ϕ_{K_{m}} : ℝ^{3} → V und ϕ_{K_{n}} : ℝ^{2} → W (vergl. Vorlesung). Weiterhin sei durch die reelle Matrix

M = (\begin{matrix}4 & 1 & −2 \\ −1 & 0 & 1 \end{matrix})

vermöge L(x) = M · x eine lineare Abbildung L : V → W definiert.

(a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix M_{K_{n}}^{K_{m}}(L) bezüglich der Standardbasen K_{m} und K_{n}.

(b) Es seien B = \{(\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ −2 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−1 \\ 1 \\ −2 \end{matrix})\} und C = \{(\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix})\} zwei weitere Basen

von V bzw. W. Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen M_{K_{3}}^{B}(ϕ_{K_{3}}^{−1}∘ϕ_{B}) und M_{K_{2}}^{C}(ϕ_{K_{2}}^{−1}∘ ϕ_{B}).

(c) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix M_{C}^{B}(L) bezüglich der Basen B und C.

(G 5) Der Dualraum Es sei V ein reller Vekrorraum und V^{∗} = hom(V, ℝ) der Vektorraum aller linearen Funktionen f : V → ℝ von V nach ℝ (genannt der Dualraum zu V).

(a) Geben Sie im Fall V = ℝ^{n} eine Basis des Vektorraumes V^{∗} an. Welche Dimension hat hier V^{∗}.

(b) Es sei i : V = ℝ^{n} → (V^{∗})^{∗}, v ↦ (f ↦ f(v)) die Auswertungsabbildung. Ist i linear, injektiv, surjektiv oder sogar ein Isomorphismus?

Hausübungen

(A 20) (10 Punkte) Bearbeiten Sie Aufgabe G5.

(A 21) (10 Punkte) Die Abbildungen ϕ_{A} : ℝ^{4} → ℝ^{4}, x ↦ Ax und ϕ_{B} : ℝ^{5} → ℝ^{4}, x ↦ Bx seien durch die Matrizen

A = (\begin{matrix}−3 & −3 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 2 & 0 \\ −1 & 0 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{matrix}) bzw. B = (\begin{matrix}2 & −6 & 0 & 8 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 & 8 \\ −1 & 9 & −2 & 6 & −2 \\ 1 & −6 & 1 & −1 & 2 \end{matrix})

gegeben. Bestimmen Sie eine Basis von kerϕ_{A} und imϕ_{A} sowie von kerϕ_{B} und imϕ_{B}.

(A 22) (10 Punkte) Beweisen Sie, daß eine Summe U_{1} + U_{2} + ⋯ + U_{n} von Untervektorräumen U_{1}, U_{2}, …, U_{n} eines Vektorraums V wiederum ein Untervektorraum von V ist. (Zur Erinnerung: U_{1} + U_{2} + ⋯ + U_{n} := {u_{1} + u_{2} + ⋯ + u_{n} | ∀ 0 ≤ i ≤ n : u_{i} ∈ U_{i}})