Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Kay Schwieger

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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WS 2007/2008

Lineare Algebra I

5. Übung

Gruppenübungen

MINITEST

(T 1) Gegeben seien die folgenden Matrizen:

A = (1 2) B = (\begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix}) , C = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) , D = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}) .

Welche der folgenden Ausdrücke sind dann definiert?

□ AB □ BA □ A + B □ CD □ DC □ C^{2} □ D^{2}

(T 2) Welche der folgenden Ausdrücke sind für beliebige n×n–Matrizen A und B und die Einheitsmatrix E_{n} richtig? □ (A + B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2} □ (A + B)(A − B) = A^{2} − B^{2} □ (A + E_{n})(A − E_{n}) = A^{2} − E_{n}

(G 1) Beweisen Sie, daß die folgenden Aussagen für einen Körper 𝕂 richtig sind:

1. ∀a ∈ 𝕂 : a · 0 = 0 = 0 · a

2. ∀a, b ∈ 𝕂 : a · b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0 (Nullteilerfreiheit)

3. ∀a, b ∈ 𝕂 : a · (−b) = −(ab) = (−a)b

4. ∀a, b ∈ 𝕂 : (−a) · (−b) = ab

(G 2) Äquivalenzrelationen (Wiederholung) Es sei n ≥ 2 eine natürliche Zahl. Zwei Zahlen a, b ∈ ℤ heißen kongruent modulo n, geschrieben a ≡ b (mod n), falls die ganze Zahl a − b durch n teilbar ist.

(a) Beweisen Sie, daß die Kongruenz ≡ (mod n) modulo n eine Äquivalenzrelation ist, d.h. daß folgende

Bedingungen erfüllt sind: 1. ∀a ∈ ℤ : a ≡ a (mod n) (Reflexivität)

2. ∀a, b ∈ ℤ : (a ≡ b (mod n)) ⇒ (b ≡ a (mod n)) (Symmetrie)

3. ∀a, b, c ∈ ℤ : (a ≡ b (mod n)) ∧ (b ≡ c (mod n)) ⇒ a ≡ c (mod n) (Transitivität)

(b) Zeigen Sie, daß die Kongruenz ≡ (mod n) modulo n sogar eine Kongruenzrelation ist, d.h. daß

zusätzlich die Bedingungen 1. ∀a, b, c, d ∈ ℤ : (a ≡ b (mod n)) ∧ (c ≡ d (mod n)) ⇒ (a + c ≡ b + d (mod n))

2. ∀a, b, c, d ∈ ℤ : (a ≡ b (mod n)) ∧ (c ≡ d (mod n)) ⇒ (a · c ≡ b · d (mod n)) erfüllt sind.

(G 3) Restklassenringe Es sei ℤ der Ring der ganzen Zahlen und n ≥ 2 eine natürliche Zahl. Die Kongruenzklasse [a] modulo n einer ganzen Zahl a ist die Menge {z ∈ ℤ | z ≡ a (mod n)} aller zu a kongruenten ganzen Zahlen. Die Menge aller dieser Kongruenzklassen wird mit ℤ_{n} bezeichnet.

(a) Beweisen Sie, daß sich die Addition und die Multiplikation von ℤ auf ℤ_{n} übertragen, d.h. daß die Operationen [a] + [b] := [a + b] und [a] · [c] := [a · c] wohldefiniert sind.

(b) Zeigen Sie, daß ℤ_{n} mit obiger Addition eine kommutative Gruppe ist. Welches ist hier das neutrale Element?

(c) Beweisen Sie, daß die Multiplikation in ℤ_{n} assoziativ und kommutativ ist sowie daß das Distributivgesetz gilt.

(d) Zeigen Sie daß ℤ_{2} mit obiger Addition und Multiplikation ein Körper ist. Geben Sie die Gruppentafel fur die Gruppen (ℤ_{n}, +, [0]) und (ℤ_{n} \ {[0]}, ·, [1]) an.

(G 4)

Es sei ℝ[x] = {a_{n}x^{n} + … + a_{1}x + a_{0} | n ∈ ℕ, a_{n}, …, a_{0} ∈ ℝ} die Menge aller reellen Polynome. Bekanntlich können zwei Polynome addiert und multipliziert und mit einer reellen Zahl skalar multipliziert werden. Für die reellen Polynome p = ∑_{i=0}^{n} p_{i}x^{i} und q = ∑_{i=0}^{n} q_{i}x^{i} (n ∈ ℕ) und die reelle Zahl λ gilt:

p + q = ∑_{i=0}^{n}(p_{i} + q_{i})x^{i},  Addition

p · q = ∑_{i,j=0}^{n} p_{i}q_{j}x^{i+j},  Multiplikation

λ · p = ∑_{i=0}^{n} λp_{i}x^{i}  Skalarmultiplikation.

Bemerkung: Da die Koeffizienten p_{i} und q_{i} (i ∈ {1, …, n}) auch gleich Null sein dürfen, beinhalten die obige Definition auch die Addition und Multiplikation von Polynomen unterschiedlichen Grades.

(a) Zeige, daß (ℝ[x], +, ·) ein ℝ-Vektorraum ist. (b) Ist (ℝ[x], +, ·) auch ein Körper?

Hausübungen

(A 14) (10 Punkte)

(a) Beweisen Sie, daß ℤ_{3} mit der Addition und der Multipliaktion aus Aufgabe G 3 ein Körper ist und geben Sie die Gruppentafeln für (ℤ_{3}, +, [0]) und (ℤ_{3} \ {[0]}, ·, [1]) an.

(b) Zeigen Sie, daß ℤ_{4} in obigem Sinne kein Körper ist.

(A 15) (10 Punkte)

(a) In jeder Zeile und jeder Spalte der folgenden Verknüpfungstafel kommt jedes Element genau einmal vor. Trotzdem handelt es sich nicht um eine Gruppentafel. Warum nicht?

e a b c d
e e a b c d
a a e c d b
b b d e a c
c c b d e a
d d c a b e

(b) Es seien s und t ganze Zahlen. Man betrachte auf ℤ die Verknüpfung ⊙ mit a ⊙ b := sa + tb (für alle a, b ∈ ℤ). Für welche s, t ist diese Verknüpfung assoziativ bzw. kommutativ?

(A 16) (10 Punkte)

Sei A := ℝ\{1}. Auf A × A definieren wir eine Abbildung ⊙ durch a ⊙ b := a + b − ab. Man zeige, dass ⊙ eine Verknüpfung und (A, ⊙) eine kommutative Gruppe ist.