Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Kay Schwieger

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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WS 2007/2008

Lineare Algebra I

3. Übung mit Lösungshinweisen

Gruppenübungen

MINITEST

(T 1) Zwei Vektoren sind linear abhängig, falls

□ einer ein Vielfaches des anderen ist. □ einer von beiden der Nullvektor ist. □ die Summe von beiden der Nullvektor ist.

(T 2) Die Gerade in ℝ^{2}, die durch die Gleichung x + y = 5 beschrieben wird,

hat eine parametrische Darstellung

□ (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix}5 \\ 0 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix}). □ (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 \\ 5 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix}−2 \\ 2 \end{matrix}). □ (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}).

(T 3) Sind u, v und w beliebige Vektoren, so sind die Vektoren u − v, v − w und w − u

□ linear unabhängig. □ linear abhängig. □ nichts von alledem.

(G 1)

Beweisen Sie, daß die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = 0
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = 0
⋮  ⋮  ⋮
a_{n1}x_{1} + a_{32}x_{2} + ⋯ + a_{nn}x_{n} = 0

eine linearer Teilraum des ℝ^{n} ist.

(G 2)

Schreiben Sie die folgenden Gleichungssysteme in Matrixform und geben Sie die Lösungsmengen an (Verwenden Sie den Gaußalgorithmus):

a) \begin{aligned}x_{1} − 2x_{2} + x_{3} + x_{4} & = & 1 \\ x_{1} − 2x_{2} + 2x_{3} & = & 7 \\ x_{2} − 2x_{3} + 5x_{4} & = & −4 \\ −x_{1} + x_{2} − x_{3} + x_{4} & = & −4 \end{aligned}  b) \begin{aligned}2x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} & = & 1 \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} & = & −1 \\ −x_{1} − x_{2} − 3x_{3} & = & −2 \end{aligned}

(G 3) Gauß-Jordan-Eliminationsverfahren Bestimmen Sie alle Lösungen des linearen Gleichungssystems

(\begin{matrix}−1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 3 & −1 \\ 2 & −2 & 6 & 0 \end{matrix}) · (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 2 \end{matrix})

mit dem Gauß-Jordan-Eliminationsverfahren. (G 4) Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme mit dem Gaußalgorithmus: (i)

−6x_{1} + 6x_{2} + 2x_{3} − 2x_{4} = 2
−9x_{1} + 8x_{2} + 3x_{3} − 2x_{4} = 3
−3x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 7

(ii)

(\begin{matrix}1 & 6 & −1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 4 & 1 & 5 \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix}3 \\ −1 \\ −6 \end{matrix}) .

(iii)

(\begin{matrix}0 & 2 & 1 & −3 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ −2 & 8 & 3 & −9 \\ −4 & 14 & 5 & −15 \\ −2 & 6 & 2 & −6 \end{matrix}) (\begin{matrix}z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} \\ z_{4} \end{matrix}) − (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 5 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) .

Hausübungen

(A 9) (10 Punkte) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystem Ax = b mit

A = (\begin{matrix}1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & −1 \\ 1 & 4 & α^{2} \end{matrix}) und b = (\begin{matrix}3 \\ −2 \\ α \end{matrix})

in Abhängigkeit vom reellen Parameter α. Hinweis: Es sind drei verschiedene Fälle in Abhängigkeit vom Wert von α zu unterscheiden. Bei einem der Fälle ist die Formel α^{2} − 1 = (α + 1)(α − 1) (3. binomische Formel) hilfreich. (A 10) (10 Punkte) Überprüfen Sie die Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems Ax = b, und bestimmen Sie gegebenenfalls alle Lösungen.

A = ( \begin{matrix}1 & −1 & −1 & 2 \\ 2 & 2 & −4 & 4 \\ 3 & −1 & −5 & 7 \\ 1 & 1 & −3 & 3 \end{matrix} ) , b = ( \begin{matrix}1 \\ 4 \\ 7 \\ 5 \end{matrix} )