Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Kay Schwieger

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

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WS 2007/2008

Lineare Algebra I

13. Übung

Gruppenübungen

(G 1)

(a) Beweisen Sie, dass die reelle Matrix

A := ( \begin{matrix}0 & 0 & −2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{matrix} )

über ℝ ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist.

(b) Berechnen Sie A^{13}. (G 2) Die lineare Abbildung f : ℂ^{3} → ℂ^{3} sei durch

f ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) := ( \begin{matrix}2x + y \\ y − z \\ 2y + yz \end{matrix} ) .

gegeben.

(a) Beweisen Sie, dass f nicht diagonalisierbar ist.

(b) Berechnen Sie eine Basis des ℂ^{3}, in der f Trigonalgestalt hat. (G 3) Eine lineare Selbstabbildung L : V → V eines Vektorraumes V über dem Körper 𝕂 heißt nilpotent, wenn eine natürliche Zahl n ∈ ℕ mit L^{n} = 0 existiert. Es sei L : V → V eine solche nilpotente Abbildung. Beweisen Sie

(a) Ist λ ∈ 𝕂 ein Eigenwert von L so gilt λ = 0.

(b) Es gibt einen Eigenvektor zum Eigenwert 0.

(c) Es gibt eine Basis von V bezüglich derer L durch eine Matrix der Form

(\begin{matrix}0 & ∗ ⋯ ∗ \\ 0 \\ ⋮ & A′ \\ 0 \end{matrix} )

dargestell wird, wobei A′ nilpotent ist.

(G 4)

Beweisen Sie, daß jede nilpotente Matrix trigonalisierbar ist.

(G 5) Sesquilinearformaen

Eine Sesquilinearform auf einem komplexen Vektorraum V ist eine Abbildung ⟨−, −⟩ : V × V → ℂ, welche antilinear in der ersten und linear in der zweiten Komponente ist. Zeigen Sie, daß die Abbildung ⟨−, −⟩ : ℂ^{n} × ℂ^{n} → ℂ, ⟨x, y⟩ = x^{H}y mit x^{H} = (\overline{x_{1}}, …, \overline{x_{n}}) eine Sesquilinearform auf ℂ^{n} ist. ( Der Vektor x ist hier ein Spaltenvektor.)

(G 6) Skalarprodukte

Ein Skalarprodukt auf einem rellen Vektorraum V ist eine positiv definite bilineare Abbildung ⟨−, −⟩ : V × V → ℝ. Der Winkel α zwischen zwei nichttrivialen Vektoren v und w ist dann durch die Gleichung ⟨v, w⟩ = \sqrt{⟨v, v⟩} · \sqrt{⟨w, w⟩} cos α gegeben.

(a) Zeigen Sie, daß die Abbildung ⟨−, −⟩ : ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ, ⟨x, y⟩ = x^{T} y ein Skalarprodukt auf ℝ^{n} ist. ( Der Vektor x ist hier ein Spaltenvektor.)

(b) Berechen Sie den Winkel zwischen (1, 0)^{T} und (1, 1)^{T}.

(G 7) Eigenwerte und Eigenvektoren

(a) Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

( \begin{matrix}1 & −3 & 3 \\ 3 & −5 & 3 \\ 6 & −6 & 4 \end{matrix} ) .

(b) Die Abbildung Φ : ℝ^{3} → ℝ^{3}, Φ(x) = Ax mit

A = ( \begin{matrix}\frac{1}{4} \sqrt{3} + \frac{1}{2} & \sqrt[\frac{1}{4}]{2} & −\frac{1}{4} \sqrt{3} + \frac{1}{2} \\ −\frac{1}{4} \sqrt{2} & \sqrt[\frac{1}{2}]{3} & \sqrt[\frac{1}{4}]{2} \\ −\frac{1}{4} \sqrt{3} + \frac{1}{2} & −\frac{1}{4} \sqrt{2} & \frac{1}{4} \sqrt{3} + \frac{1}{2} \end{matrix} )

ist eine Drehung um eine Achse. Bestimme die Richtung der Drehachse und den Drehwinkel.

Hausübungen

(H 1)

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