Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Martin Fuchssteiner Kay Schwieger

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

�

WS 2007/2008

Lineare Algebra I

11. Übung

Gruppenübungen

MINITEST

(T 1) Für den Rang rankϕ einer linearen Abbildung ϕ : V → W gilt

□ rankϕ ≤ dim(W) □ rankϕ ≤ dim(V) □ rankϕ ≤ dim(ker ϕ) □ rankϕ ≤ dim(Imϕ) (T 2) Es seien A, B ∈ M(n × n, 𝕂) und B gehe aus A durch elementare Zeilenumformungen hervor. Welche der folgenden Aussagen ist (oder sind) falsch?

□ det A = 0 ⇔ det B = 0  □ det A = det B  □ ∃λ ∈ 𝕂\{0} : detA = λdetB

(T 3) det ( \begin{matrix}λ & λ & λ \\ λ & λ & λ \\ λ & λ & λ \end{matrix} ) =

□ 0  □ λ  □ λ^{3}  □ 9λ  □ λ^{9}

(G 1) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden reellwertigen Matrix:

A := ( \begin{matrix}3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{matrix} ) .

(G 2) Es sei A eine quadratische Matrix.

(a) Beweisen oder widerlegen Sie, dass A und A^{T} die gleichen Eigenwerte haben.

(b) Beweisen oder widerlegen Sie, dass A und A^{T} die gleichen Eigenräume haben. (G 3) Gegeben sei die Matrix

A = ( \begin{matrix}−1 & −3 & −3 \\ −2 & −1 & −2 \\ 2 & 3 & 4 \end{matrix} ) .

(a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von A.

(b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren.

(c) Ist A ähnlich zu einer Diagonalmatrix? Falls ja, geben Sie eine Diagonalmatrix D und eine Matrix T an, so daß T^{−1}AT = D gilt.

(G 4) Beweisen Sie folgende Aussagen für eine komplexe Matrix A:

(a) λ ist Eigenwert von A ⇔ λ̄ ist Eigenwert von A.

(b) A ist regulär ⇔ Alle Eigenwerte von A sind von Null verschieden.

(c) Ist A regulär, so gilt:

λ ist Eigenwert von A ⇔ \frac{1}{λ} ist Eigenwert von A^{−1}.

(d) λ ist Eigenwert von A ⇒ λ^{k} ist Eigenwert von A^{k} für alle k ∈ ℕ.

Hausübungen

(A 14) Eigenwerte und Eigenvektoren (10 Punkte) Gegeben sei die Matrix

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ −6 & 3 & −1 \\ 6 & −2 & 2 \end{matrix} ) .

(a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von A.

(b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren.

(c) Ist A ähnlich zu einer Diagonalmatrix? Falls ja, geben Sie eine Diagonalmatrix D und eine Matrix T an, so daß T^{−1}AT = D gilt.

(A 15) (10 Punkte)

(a) Zeigen Sie, dass sich die charakteristische Gleichung einer 2 × 2-Matrix A als

λ^{2} − λ tr(A) + det(A) = 0

schreiben lässt.

(b) Bestimmen Sie die Lösungen der charakteristischen Gleichung für eine reellwertige Matrix

A := ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) .

Für welche a, b, c, d ∈ ℝ besitzt die Matrix A keine, ein oder zwei reelle Eigenwerte?

(c) Zeigen Sie, dass ( \begin{matrix}−b \\ a − λ_{1} \end{matrix} ) und ( \begin{matrix}−b \\ a − λ_{2} \end{matrix} ) Eigenvektoren von A sind für den Fall, dass A reelle Eigenwerte hat.

(d) Berechnen Sie für a, b, c, d ∈ ℤ mit a + b = c + d die Eigenwerte von A und zeigen Sie, dass sie ganzzahlig sind.

(A 16) (10 Punkte)

Es sei A = ( \begin{matrix}−2 & 6 \\ −2 & 5 \end{matrix} ) .

(a) Für λ ∈ ℝ sei B_{λ} = A − λE_{2}. Berechne Werte λ_{1} und λ_{2} ∈ ℝ, so daß det(B_{λ_{i}}) = 0.

(b) Finde Vektoren v_{1} und v_{2}, die V_{1} := ker B_{λ_{1}} bzw. V_{2} := ker B_{λ_{2}} erzeugen. Zeige, daß V die direkte Summe von V_{1} und V_{2} ist.

(c) Die Matrix A beschreibt eine lineare Abbildung bezüglich der Standardbasis. Berechne die Matrix dieser Abbildung bezüglich der neuen Basis B′ = {v_{1}, v_{2}}.

(d) Es sei L : ℝ^{2} → ℝ^{2} eine lineare Abbildung und es seien v, w ∈ ℝ^{2} \ {0} zwei Vektoren, so daß

L(v) = λv  L(w) = μw  mit λ, μ ∈ ℝ und λ ≠ μ

Bilden die Vektoren v, w immer eine Basis von ℝ^{2}?