Prof. Dr. Gregor Fels Fachbereich Mathematik, TU-Darmstadt Zusammenfassung der Vorlesung vom 13.07

Lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten:

\begin{aligned}y′_{1}(t) & = a_{11}y_{1}(t) + a_{12}y_{2}(t) + ⋯ + a_{1n}y_{n}(t) + b_{1}(t) \\ y′_{2}(t) & = a_{21}y_{1}(t) + a_{22}y_{2}(t) + ⋯ + a_{2n}y_{n}(t) + b_{2}(t) \\ ⋮ & ⋮ \\ y′_{n}(t) & = a_{n1}y_{1}(t) + a_{n2}y_{2}(t) + ⋯ + a_{nn}y_{n}(t) + b_{n}(t) \end{aligned}

Oder in der Matrixschreibweise:

y′(t) = A·y(t) + b(t), A ∈ ℝ^{n×n}

Die Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung y′(t) = A·y(t) ist für alle Zeiten t ∈ ℝ definiert und lautet:

y(t) = e^{tA}·c

Dabei ist die

Matrix-Exponentialfunktion ℝ → ℝ^{n×n} wie folgt definiert:

e^{tA}= ∑_{k=0}^{∞} \frac{t^{k}A^{k}}{k!}

Konvergenz: Sei ∥ ∥ : ℝ^{n} → ℝ_{≥0} die Euklidische Norm auf ℝ^{n}. Die Matrixnorm ∥ ∥_{M} : ℝ^{n×n} → ℝ_{≥0} ist durch

∥A∥_{M} := sup{∥Av∥ : ∥v∥ = 1}

erklärt. Es gilt

• ∥Av∥ ≤ ∥A∥_{M}·∥v∥ ∀v ∈ ℝ^{n}, A ∈ ℝ^{n×n}

• ∥A + B∥_{M} ≤ ∥A∥_{M} + ∥B∥_{M}

• ∥AB∥_{M} ≤ ∥A∥_{M}∥B∥_{M} . Insbesondere ∥A^{k}∥_{M} ≤ ∥A∥_{M}^{k} .

Mit dieser Norm gilt ∑_{k=0}^{∞} ∥\frac{t^{k}A^{k}}{k!}∥_{M} ≤ ∑_{k=0}^{∞} \frac{|t|^{k}∥A∥_{M}^{k}}{k!} < ∞. Da also die Exponentialreihe in ℝ^{n×n} absolut konver-

gent ist, konvergiert sie gegen ein Element aus ℝ^{n×n} das wir mit e^{tA} oder exp(tA) bezeichnen.

Differenziation:

\begin{aligned}( ∑_{k=0}^{∞} \frac{t^{k}A^{k}}{k!} )′ & = ∑_{k=0}^{∞}(\frac{t^{k}A^{k}}{k!})′ = ∑_{k=1}^{∞} \frac{kt^{k−1}A^{k}}{k!} =^{ℓ = k−1} A ∑_{ℓ=0}^{∞} \frac{t^{ℓ}A^{ℓ}}{ℓ!}= \\ & = A·e^{tA} \end{aligned}

Weitere Eigenschaften:

• AB = BA impliziert e^{A+B} = e^{A}· e^{B} = e^{B} · e^{A}

• e^{A} ist immer invertierbar und es gilt (e^{A})^{−1} = e^{−A} Zusammenfassend:

Satz. Die vollständige allgemeine Lösung von y′(t) = A·y(t) lautet

y(t) = e^{tA}·c c ∈ ℝ^{n}

und das AWP y(t_{0}) = z hat die Lösung

y(t) = e^{A(t−t_{0})}·z

Ist C ∈ ℝ^{n×n} invertierbar so ist Y(t) = e^{tA}·C ein Fundamentalsystem (Fundamentalmatrix) der DGL-Systems y′(t) = A·y(t)

Explizite Berechnungen von e^{tA} und der Lósungen von y′ = Ay. Vorbemerkung: Ist z(t) = u(t) + iv(t) eine komplexe Lösung von z′ = Az, A ∈ ℝ^{n×n}, so sind u(t) = Re z(t) und v(t) = Im z(t) ebenfalls Lösungen.

Lösungsverfahren für y′ = Ay:

• Eigenwerte mit algebraischen Vielfachkeiten berechnen:

det(A − xE) = ±(x − λ_{1})^{k_{1}}(x − λ_{2})^{k_{2}} ⋯ (x − λ_{r})^{k_{r}}

• Als Verallgemeinerung von Eigenräumen Eig(A, λ) = ker(A − λE) definiert man jetzt die Haupträume

Haup(A, λ) = ker(A − λE)^{n}

v ∈ Haup(A, λ) heißt ein Hauptvektor der Stufe ℓ falls (A − λE)^{ℓ}(v) = 0. So sind alle λ–Eigenvektoren λ–Hauptvektoren der Stufe 1. Man muss also das lineares Gleichungsystem (A − λE)^{n}v = 0 lösen um aus den Lösungen v_{j} eine Basis auswählen zu können.

Satz. Sei A : ℂ^{n} → ℂ^{n} linear. Der Vektorraum ℂ^{n} hat eine ℂ–Basis, die nur aus Hauptvektoren von A besteht:

ℂ^{n} = Haup(A, λ_{1}) ⊕ Haup(A, λ_{2}) ⊕ ⋯ ⊕ Haup(A, λ_{r})

Anmerkung. Man kann eine Basis B = (w_{1}, ... , w_{m}) von W := Haup(A, λ) ⊂ ℂ^{n} immer so wählen, dass gilt

[A|W]_{B} = ( \begin{matrix}J_{1} \\ & J_{2} \\ & & . & . & . \\ & & & & & J_{p} \end{matrix} )  mit  J_{ℓ} = ( \begin{matrix}λ & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ & λ & 1 & & 0 \\ ⋮ & & ... & ... & 0 \\ 0 & & & & 1 \\ 0 & & ⋯ & & λ \end{matrix} ) ∈ ℝ^{k_{ℓ}×k_{ℓ}} (sog. Jordan-Block)

expt ( \begin{matrix}J_{1} \\ & J_{2} \\ & & . & . & . \\ & & & & & J_{p} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}e^{tJ_{1}} \\ & e^{tJ_{2}} \\ & & . & . & . \\ & & & & & e^{tJ_{p}} \end{matrix} ) , expt ( \begin{matrix}λ & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ & λ & 1 & 0 \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & & & λ 1 \\ 0 & & ⋯ & λ \end{matrix} ) = e^{tλ} ( \begin{matrix}1 & t & t^{2}/2 & ⋯ & \frac{t^{k−1}}{k−1!} \\ & 1 & t & & \frac{t^{k−2}}{k−2!} \\ ⋮ & & ... & ... \\ & & & & t^{2}/2 \\ 0 & & & & 1 t \\ 0 & & ⋯ & & 1 \end{matrix})

• Sei v ∈ Haup(A, λ) der Stufe ℓ, A ∈ ℝ^{n×}. Dann ist

y(t) = Re[e^{tλ} (v + t(A − λE)v + ⋯ + \frac{t^{ℓ−1}}{ℓ!}(A − λE)^{ℓ−1}v)]

sowie

y(t) = Im[e^{tλ} (v + t(A − λE)v + ⋯ + \frac{t^{ℓ−1}}{ℓ!}(A − λE)^{ℓ−1}v)]

eine reelle Lösung von y′ = Ay. Der Realteil und der Imaginärteil sind nur dann linear unabhängig, wenn λ ∈ ℂ ∖ ℝ.

Für den Fall n = 2 siehe [MV]II, Seiten 120-123.

Lösung des inhomogenen DGL-systems y′ = A(t)y + b(t) . Angenomment, ein Fundamentalsystem Y(t) des homogenen DGL-Systems y′ = A(t)y sei bereits bekannt. Der Ansatz

y_{p}(t) = Y(t)c(t)

führt auf c(t)′ = Y(t)^{−1}b(t) d.h. c(t) = ∫_{t_{0}}^{t}Y(s)^{−1}b(s) ds und damit ist

y(t) = Y(t)( ∫_{t_{0}}^{t}Y(s)^{−1}b(s) ds + c_{0})

eine allgemeine Lösung von y′ = A(t)y + b(t)