Prof. Dr. Gregor Fels Fachbereich Mathematik, TU-Darmstadt Zusammenfassung der Vorlesung vom 10.07

Existenzsätze

In den folgenden Sätzen sei U ⊂ ℝ^{n+1} eine offene Teilmenge.

Satz von Peano. Ist v : U → ℝ^{n} stetig und (t_{0}, y_{0}) ∈ D, so besitzt das AWP

y′(t) = v(t, y(t)), y(t_{0}) = y_{0}

mindestens eine Lösung, die sich bis zum Rande von U fortsetzen läßt.

Satz von Picard-Lindelöf. Ist v : U → ℝ^{n} stetig und genügt einer lokalen Lipschitz-Bedingung, d.h., für jeden Punkt (s_{0}, x_{0}) ∈ U existiert eine Konstante L = L(s_{0}, x_{0}) , so dass

∥v(t, x) − v(t, y)∥ ≤ L∥x − y∥, (t, x), (t, y) ∈ B_{ϵ}(s_{0}, x_{0})

gilt, (Diese Bedingung ist automatisch erfüllt wenn v ∈ C^{1}(U) ), dann hat das AWP y′(t) = v(t, y(t)), y(t_{0}) = y_{0} \underline{genau} eine Lösung, die sich bis zum Rande von U fortsetzen läßt.

Lineare DGL-Systeme sind DGL-Systeme vom folgenden Typ:

y′(t) = A(t)·y(t) + b(t)

wobei die Koeffizientenmatrix A(t) eine n × n Matrix von Funktionen a_{ij}(t) ist, y(t) = (y_{1}(t), ... , y_{n}(t))^{T} und b(t) = (b_{1}(t), ... , b_{n}(t))^{T} die Störfunktion heißt. Im Fall b ≠ 0 spricht man von einem inhomogenenen und im Fall b = 0 von einem homogenen linearen DGL-system.

Konsequenzen aus dem PL-Satz. Besteht die n × n Koeffizientenmatrix A : I → ℝ^{n×n} aus stetigen Funktionen a_{ij}(t) , so ist der Lösungsraum von

(∗)  y′(t) = A(t)·y(t)  ( hierbei v : I × ℝ^{n} → ℝ^{n}, (t, y) ↦ A(t)y )

ein n–dimensionaler Vektoraum.

Beispiel. Eine gewöhnliche lineare DGL n-ter Ordnung

y^{(n)} + a_{n−1}(t)y^{(n−1)} + ⋯ + a_{0}(t)y = b(t)

ist äquivalent zu dem folgenden DGL-System (erster Ordnung):

y′(t) = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & & 0 & 0 \\ & 0 & 0 & ... & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & & 0 & 1 \\ −a_{0} & −a_{1} & −a_{2} & & −a_{n−2} & −a_{n−1} \end{matrix} ) y + ( 0 ; 0 ; ⋮ ; ⋮ ; 0 ; b(x))

Der Lösungsraum L der entsprechenden homogenen DGL ist ein n–dimensionaler Vektorraum.

Wronski-Determinante. Sind y_{1}(t), ... , y_{n}(t) n (nicht notwendig verschiedene) Lösungen von (∗) so heißt:

Y(t) := (y_{1}(t), ... , y_{n}(t)) eine Lösungsmatrix
W(t) := detY(t) die Wronski-Determinante von Y(t)

Sind y_{1}(t), ... , y_{n}(t) linear unabhängig, so heißt (y_{1}(t), ... , y_{n}(t)) ein Fundamentalsystem (von Lösungen) des DGL-Systems.

Liouville-Formel: W(t) = W(t_{o})· exp( ∫_{t_{0}}^{t}Spur A(s) ds)

Sind also y_{1}(t_{0}), ... , y_{n}(t_{0}) linear unabhängige Vektoren in ℝ^{n} so bleiben y_{1}(t), ... , y_{n}() linear unabhängig für alle t.

Lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten:

y′(t) = A·y(t) + b(t), A ∈ ℝ^{n×n}