Prof. Dr. Gregor Fels Fachbereich Mathematik, TU-Darmstadt Zusammenfassung der Vorlesung vom 06.07

Eine lineare DGL zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die folgende Gestalt

(∗)  y′′(x) + a·y′(x) + b·y(x) = f (x), a, b, ∈ ℝ.

Der Lösungsraum der homogenen Gleichung (d.h. f ≡ 0 ) ist ein 2-dimensionaler Vektorraum. Es ist praktisch mit dem Ansatz y(t) = e^{λt} für komplexwertige Exponentialfunktionen zu arbeiten:

Komplexe Exponentialfunktion. Für z = x + iy definiert man

e^{z} = e^{x}·e^{iy} = e^{x}(cosy + i siny) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{n!}

Eigenschaften:

\begin{aligned}e^{w+z} & = e^{w}·e^{z} \\ \frac{d}{dt}e^{wt} & = we^{wt} \\ \frac{d}{dt}z(t) & = w·z(t) ⟹ z(t) = ce^{wt} \end{aligned}

Ein Fundamentalsystem für die homogene lineare DGL y′′ + ay′ + by = 0 : Eine Basis y_{1}(t), y_{2}(t) des (2-dimensionalen) Lösungsraumes dieser DGL. Lösungsmethode: Charakteristische Gleichung aufstellen: λ^{2} + aλ + b = 0 . Abhängig von dem Typ der Nullstellen λ_{j} dieser Gleichung sieht ein Fundamentalsystem folgendermaßen aus:

• λ_{1} ≠ λ_{2}, λ_{j} ∈ ℝ ⟹ y_{1} = e^{λ_{1}t}, y_{2} = e^{λ_{2}t}

• λ_{1} = λ_{2} ∈ ℝ ⟹ y_{1} = e^{λ_{1}t}, y_{2} = te^{λ_{1}t}

• λ_{1} = \overline{λ_{2}} ∈ ℂ ∖ ℝ ⟹ y_{1} = e^{αt} cosβt, y_{2} = e^{αt} sinβt

Lösung der inhomogenen Gleichung: y′′ + ay′ + by = f (t) : Vollständige Lösung: y(t) = y_{p}(t) + y_{h}(t)

Partikuläre Lösung: Sei y_{1}, y_{2} ein Fundamentalsystem der zugehörigen homogenen DGL. Dann: der Ansatz y = c_{1}(t)y_{1}(t) + c_{2}(t)y_{2}(t) führt auf

\begin{aligned}c′_{1}y_{1} + c′_{2}y_{2} & = 0 \\ c′_{1}y′_{1} + c′_{2}y′_{2} & = f (t) \end{aligned}

Mit Hilfe der Cramerschen Formel folgt ( y_{1}y′_{2} − y_{2}y′_{1} ≠ 0 )

c_{1}(t)′ = −\frac{y_{2}(t)f (t)}{y_{1}y′_{2} − y_{2}y′_{1}}, c′_{2}(t) = \frac{y_{1}(t)f (t)}{y_{1}y′_{2} − y_{2}y′_{1}}

y_{p}(t) = −y_{1} ∫_{t_{0}}^{t} \frac{y_{2}(s)f (s)}{y_{1}y′_{2} − y_{2}y′_{1}}ds + y_{2} ∫_{t_{0}}^{t} \frac{y_{1}(s)f (s)}{y_{1}y′_{2} − y_{2}y′_{1}}ds

Falls f (t) = p_{m}(t)e^{wt}, dann führt der Ansatz y_{p}(t) = t^{k}P_{m}(t)e^{wt} schneller zum Ziel (mit k = 0 falls w keine Nullstelle der charakteristischen Gleichung ist, und k = m > 0 falls w eine m–fache Nullstelle der charakteristischen Gleichung ist).

DGL-systeme erster Ordnung sind Gleichungssysteme

(♯)  \begin{aligned}x′_{1}(t) & = v_{1}(t, x_{1}, ... , x_{n}) \\ ⋮ & ⋮ \\ x′_{n}(t) & = v_{n}(t, x_{1}, ... , x_{n}) \end{aligned}

wobei v = (v_{1}, ... , v_{n}) eine auf einer offenen Menge U ⊂ ℝ^{n+1} definierte ℝ^{n}–wertige Funktion ist. Die Lösung eines solchen Systems besteht aus (mindestens 1-mal) differenzierbaren Funktionen x_{1}(t), ... , x_{n}(t) , definiert auf einem Interval I , die identisch (♯) erfüllen.